§1 定积分的性质定积分的性质积分中值定理

定理9.8（推广的积分第一中值定理）若f,g在[a,b]上连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则???[a,b],使?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.aabb证不妨设g(x)?0,x?[a,b].若m,M分别是f(x)在[a,b]上的下确界与上确界,则mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x),x?[a,b].若?g(x)dx?0,则因g(x)非负、连续,必定使得ag(x)?0,x?[a,b],0?m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?M?g(x)dx?0.aaabbbb数学分析第九章定积分高等教育出版社§1 定积分的性质定积分的性质积分中值定理

此时可任取??[a,b],使得b?abf(x)g(x)dx?0?f(?)?g(x)dx.ab若?g(x)dx?0,则abf(x)g(x)dx?am??M.bg(x)dx?a由连续函数的介值性定理,存在??[a,b],使得f(?)??baf(x)g(x)dx即?ab?bag(x)dxba,f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.数学分析第九章定积分高等教育出版社复习思考题

1.若f在[a,b]上可积,且?f(x)dx?0.是否存在ab[a1,b1]?[a,b]和??0,使得f(x)??,x?[a1,b1]?112.若f在[0,1]上有界,且?n?N,f在[,]n?1n?上可积.试问:f在[0,1]上一定可积吗?数学分析第九章定积分高等教育出版社