(6)(cot x)csc2
x (7)(sec x)sec xtan x (8)(csc x)csc xcot x
(9)(a x)a x ln a
(10)(e x)ex (11) (logax)??1xlna
(12) (lnx)??1x (13) (arcsinx)??11?x2 (14) (arccosx)???11?x2
(15) (arctanx)??11?x2 (16) (arccotx)???11?x2
2．函数的和、差、积、商的求导法则 设uu(x) vv(x)都可导 则 (1)(u v)uv (2)(C u)C u (3)(u v)uvuv (4)(u)??u?v?uv?vv2
3．反函数的求导法则 设xf(y)在区间Iy 内单调、可导且f (y)0内也可导 并且 [f?1(x)]??1f?(y) 或
dy1dx?dx
dy 4．复合函数的求导法则
设yf(x) 而ug(x)且f(u)及g(x)都可导
dydx?dydudu?dx或y(x)f (u)g(x)
例16 求双曲正弦sh x的导数. 解 因为sh x?12(ex?e?x) 所以
(sh x)??12(ex?e?x)??12(ex?e?x)?ch x
则它的反函数yf1 (x)在Ixf(Iy)
则复合函数yf[g(x)]的导数为
即 (sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x
例17 求双曲正切th x的导数 解 因为th x?sh xch x 所以
(th x)??ch2x?sh2xch2x?1ch2x
例18 求反双曲正弦arsh x的导数 解 因为arsh x?ln(x?1?x2) 所以
(arsh x)??11?x2?(1?x1?x2)?1x?1?x2
由arch x?ln(x?x2?1) 可得(arch x)??1x2?1
由arth x?12ln1?x1?x 可得(arth x)??11?x2
类似地可得(arch x)??1x2?1 (arth x)??11?x2
例19．ysin nxsinn
x (n为常数) 求y
解 y(sin nx) sin n x + sin nx (sin n
x)
ncos nx sin n x+sin nx n sin n1
x (sin x ) ncos nx sin n x+n sin n1 x cos x n sin n1
x
n+1)x sin( §2. 3 高阶导数
一般地 函数yf(x)的导数yf (x)仍然是x 的函数 我们把y、f
(x)或
d2ydx2f (x)
的导数叫做函数yf(x)的二阶导数 记作 y即 y(y)
f
(x)[f (x)]
d2yddy 2?()dxdxdx 相应地 把yf(x)的导数f (x)叫做函数yf(x)的一阶导数
类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 般地 (n1)阶导数的导数叫做n 阶导数 分别记作
一
y y (4)
y (n)
或
d3ydx3
d4ydx4
dnydxn
函数f(x)具有n 阶导数 也常说成函数f(x)为n 阶可导 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
(4)(n)
y称为一阶导数 y y y y都称为高阶导数
例1．yax b 求y 解 ya y0 例2．ssin t 求s
2
解 s cos t ssin t 例3．证明 函数y?2x?x2满足关系式yy 证明 因为y??2?2x?1?x22x?x22x?x2 3
10
?2x?x2?(1?x)2?2x1122x?x2??2x?x2?(1?x)2???? y???3y32x?x2(2x?x2)(2x?x2)(2x?x2)2
所以yy10
x
例4．求函数ye的n 阶导数 解 yex yex yex y( 4)ex 一般地 可得
( n)
yex
x(n)
即 (e)ex
例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数 解 ysin x
3
y??cosx?sin(x? ?)2
y???cos(x? ?)?sin(x? ?? ?)?sin(x?2? ?2222)
y????cos(x?2? ?2)?sin(x?2? ?2? ?2)?sin(x?3? ?2)
y(4)?cos(x?3? ?)?sin(x?4? ?22)
一般地 可得
y(n)?sin(x?n? ?2) 即(sinx)(n)?sin(x?n? ?2)
用类似方法 可得(cosx)(n)?cos(x?n? ?2)
例6．求对函数ln(1x)的n 阶导数
解 yln(1x) y(1x)1
y(1x)2
y(1)(2)(1x)3 y(4)
(1)(2)(3)(1x)
4
一般地 可得 y(n)
(1)(2)
(n1)(1x)n?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n
即 [ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n
例6．求幂函数yx
(是任意常数)的n 阶导数公式 解 yx1
y(1)x2
y(1)(2)x3
y ( 4)(1)(2)(3)x4
一般地 可得
y (n)
(1)(2) (n1)xn
即 (x )(n)
(1)(2) (n1)xn 当n时 得到
(xn)(n)
(1)(2) 3 2 1n!
而 (x n)( n1)
0
如果函数uu(x)及vv(x)都在点x 处具有n 阶导数 那么显然函数u(x)在点x 处具有n 阶导数 且
(uv)(n)
u(n)v(n) (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 用数学归纳法可以证明
(uv)(n)??nCnku(n?k)v(k)
k?0(x)也
v