(uvw)u (uvw)[(uv)w]
v
(uv)w(uv)w
(uvuv)wwuvwuvwuvwuvw即 (uvw)
uvwuvwuvw
在法则(2)中 如果vC(C为常数) 则有 (Cu)Cu
3 2
例1．y2x5x3x7 求y
3 2 3 2
解 y(2x5x3x7) (2x)5x)
2
5 x) 3 x)
2 2
23x52x36x10x3
例2 f(x)?x3?4cosx?sin ?2 求f (x)及f?( ?)2
3x)7) 2 (x)
3
解 f?(x)?(x3)??(4cosx)??(sin ?)??3x2?4sinx2 f?( ?)?3?2?424 x
例3．ye(sin xcos x) 求y 解 ye x )(sin xcos x) e x (sin xcos x)
x x
e(sin xcos x) e(cos x sin x)
x
2ecos x 例4．ytan x 求y (sinx)?cosx?sinx(cosx)? 解 y??(tanx)??(sinx)??cosxcos2x?
22?cosx?2sinx?12?sec2xcosxcosx即 (tan x)secx
例5．ysec x 求y2
sec x tan x
(1)?cosx?1?(cosx)?sinx? 解 y??(secx)??(1)??cosxcos2xcos2x即 (sec x)sec x tan x
用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式
2
(cot x)cscx (csc x)csc x cot x
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy 内单调、可导且f (y)1
(x)在对应区间Ix{x|xf(y) yIy}内也可导 并且
0 那么它的反函数yf
[f?1(x)]??1f?(y) 或
dy1?dxdxdy
简要证明 由于xf(y)在I y内单调、可导(从而连续) 所以xf(y)的反函数yf1
(x)存在 1
且f(x)在I x内也单调、连续
任取x I x 给x以增量x(x0 xxI x) 由yf 1(x)的单调性可知
yf 1
(xx)f 1(x)0 于是
?y?x?1?x
?y因为yf
1
(x)连续 故
limx?0?y?0
从而
[f?1(x)]???lim?yx?0?x??lim1y?0?x?1f?(y)
?y 上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
例6．设xsin y y?[? ?2, ?2]为直接函数 则yarcsin x是它的反函数xsin y在开区间(? ?2, ?2)内单调、可导 且
(sin y)cos y0
因此 由反函数的求导法则 在对应区间I x(1 1)内有 (arcsinx)??1)??1cosy?11?sin2y?1(siny1?x2
类似地有 (arccosx)???11?x2
例7．设xtan y y?(? ?, ?22)为直接函数 则yarctan x是它的反函数xtan y在区间(? ? ?2, 2)内单调、可导 且
(tan y)sec2
y0
因此 由反函数的求导法则 在对应区间I x( )内有
(arctanx)??1?1?11(tany)?sec2y1?tan2y?1?x2
函数
函数
类似地有 (arccotx)??? y11?x2
函数xa y 例8设xa(a0 a 1)为直接函数 则yloga x是它的反函数在区间I y( )内单调、可导 且
y (a)a y ln a 0
因此 由反函数的求导法则 在对应区间I x(0 )内有
1?1 (logax)??1?(ay)?aylnaxlna
到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、ex3、的导数怎样求？
三、复合函数的求导法则
定理3 如果ug(x)在点x可导yf[g(x)]在点x可导 且其导数为
dydydy?f?(u)?g?(x)或??dudxdudxdx 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数
证明 当ug(x)在x的某邻域内为常数时 y=f[(x)]也是常数 此时导数为零
结论自然成立
当ug(x)在x的某邻域内不等于常数时 u0 此时有
?yf[g(x??x)]?f[g(x)]f[g(x??x)]?f[g(x)]g(x??x)?g(x) ????x?xg(x??x)?g(x)?xf(u??u)?f(u)g(x??x)?g(x)??u?x ?
(u)g (x )
dy?yf(u??u)?f(u)g(x??x)?g(x)?lim?lim?lim= f
?x?0dx?x?0?x?u?0?u?x 简要证明
dy?y?y?u?y?lim?lim??lim?lim?u?f?(u)g?(x)dx?x?0?x?x?0?u?x?u?0?u?x?0?x
例9 y?ex3 求
dydx
u 解 函数y?ex3可看作是由ye
dydyduu2???e?3x?3x2ex3dxdudx ux复合而成的 因此
3
例10 y?sin2x1?x2 求
dydx sin u
u?2x复合而成的1?x2 解 函数y?sin2x是由y1?x2
因此
dydx?dydu?dudx?cosu?2(1?x2)?(2x)22(1?x2)2x(1?x2)2?(1?x2)2?cos1?x2
对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量 例11．lnsin x 求dydx
解
dydx?(lnsinx)??1sinx?(sinx)??1sinx?cosx?cotx
例12．y?31?2x2 求
dydx
解
dydx?[(1?2x2)13]??1?2?4x3(1?2x2)3?(1?2x2)??33(1?2x2)2
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形
u(v) v(x) 则
dydydudydx?du?dx?du?dudv?dvdx 例13．ylncos(e x) 求dydx
解
dydx?[lncos(ex)]??1cos(ex)?[cos(ex)]? ?1cos(ex)?[?sin(ex)]?(ex)???extan(ex)
例14．y?esin1x 求
dydx
解
dydx?(esin1x)??esin1x?(sin1x)??esin1x?cos1x?(1x)?
??1sin12?ex?cos1xx
例15设x0 证明幂函数的导数公式
(x ) x 1
解 因为x (e ln x)e ln x 所以
(x )(e ln x) e ln x( ln x) e
ln x
四、基本求导法则与导数公式
1．基本初等函数的导数 (1)(C)0
(2)(x) x1
(3)(sin x)cos x (4)(cos x)sin x
(5)(tan x)sec2
x
例如
设yf(u)x1
x 1