例4．求函数f(x) 解 f (x)?lim ?axlim ?axh?0a x(a>0 a 1) 的导数
x?hxf(x?h)?f(x)?lima?a?h?0hhah?1令ah?1?txt alimh?0ht?0loga(1?t)1?axlnalogae x
特别地有(e)e
例5．求函数f(x)log a x (a>0 a 1) 的导数 解 f?(x)?limh?0 x
loga(x?h)?logaxf(x?h)?f(x)?lim?h?0hhx?lim1loga(x?h)?1limxloga(1?h)?1limloga(1?h)h h?0hxxh?0hxxh?0x ?1logae?1xxlna 解
f?(x)?lim
loga(x?h)?logax?lim1loga(1?h)?
h?0h?0hhxx ?1limloga(1?h)h?1logae?1xh?0xxxlna
即 (logax)??1xlna 特殊地 (lnx)??
(logax)??1xlna 3．单侧导数 极限lim lim?h?0h?0
1x(lnx)??1x
f(x?h)?f(x)存在的充分必要条件是
hf(x?h)?f(x)f(x?h)?f(x)及lim??h?0hh都存在且相等
?(x0)?limf?h?0? f(x)在x0处的左导数 f(x)在x0处的右导数
f(x?h)?f(x)hf(x?h)?f(x)h
?(x0)?limf?h?0? 导数与左右导数的关系
函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f (x0) 和右导数f (x0)都存在且相等 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数f (a) 和左导数f (b)都存在 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导
例6．求函数f(x)x|在x0处的导数 ?(0)?lim 解 f??h?0f(0?h)?f(0)|h|?lim??1h?0?hh
?(0)?lim f??h?0f(0?h)?f(0)|h|?lim?1h?0?hh 因为f
(0) f (0) 所以函数f(x)|x|在x0处不可导
四、导数的几何意义
函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率 即
f (x 0)tan 其中是切线的倾角
如果yf(x)在点x0处的导数为无穷大 这时曲线yf(x)的割线以垂直于x 轴的直线xx0为极限位置 即曲线yf(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线xx0 由直线的点斜式方程 可知曲线yf(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 yy0f (x0)(xx0)
过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果
f (x0)0 法线的斜率为? y?y0??1(x?x)0f?(x0)1f?(x0) 从而法线方程为
例8 求等边双曲线y?法线方程 解 y???1x211在点(, 2)处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和
2x 所求切线及法线的斜率分别为
k2??1?1k14
k1?(?12)x?1??4x21 所求切线方程为y?2??4(x?)211 所求法线方程为y?2?(x?)42 即4xy40 即2x8y150
例9 求曲线y?xx的通过点(0 4)的切线方程
解 设切点的横坐标为x0 则切线的斜率为
31?3x0 f?(x0)?(x2)??3x22x?x02
于是所求切线的方程可设为 3x(x?x) y?x0x0?020 4)在切线上
因此
根据题目要求 点(0
3x(0?x) ?4?x0x0?020解之得x04 于是所求切线的方程为
即3xy40
y?44?34(x?4)2 四、函数的可导性与连续性的关系
设函数yf(x)在点x0 处可导 即lim lim?y?lim?x?0?y?f?(x0)存在
?x?0?x 则
?y?y??x?lim?lim?x?f?(x0)?0?0?x?0?x?x?0?x?x?0
这就是说 函数yf(x)在点x0 处是连续的 所以 如果函数yf(x)在点x处可导 则
函数在该点必连续
另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 例7． 函数f(x)?3x在区间(函数在点x0处导数为无穷大
3f(0?h)?f(0)?limh?0??? limh?0h?0hh, )内连续 但在点x0处不可导 这是因为
x §2 2 函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数 并且 [u(x)v(x)]u(x)v(x)
[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)
?u(x)???u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?v(x)???v2(x) 证明 (1)[u(x)?v(x)]??lim[u(x?h)?v(x?h)]?[u(x)?v(x)]h?0h
?lim?u(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)?u(x)v(x)
h?0??h?h?? 法则(1)可简单地表示为 (uv)uv (2)[u(x)?v(x)]??limu(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)h?0h
?lim1h?0h[u(x?h)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x)] ?lim?u(x?h)?u(x)h?0??hv(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)?h?? ?limu(x?h)?u(x)v(x?h)?h?0h?limh?0v(x?h)?u(x)?limv(x)h?0h
u(x)v(x)u(x)v(x)
其中limv(xh)v(x)是由于v(x)存在 故v(x)在点x连续
h?0 法则(2)可简单地表示为
(uv)uvuv
u(x?h)?u(x) (3) ?u(x)??v(x?h)v(x)u(x?h)v(x)?u(x)v(x?h??v(x)???limh?0h?lim)h?0v(x?h)v(x)h
?lim[u(x?h)?u(x)]v(x)?u(x)[v(x?h)?v(x)]h?0v(x?h)v(x)h
u(x?h)?u(x)v(x)?u(v(x?h)?v(x) ?limhx)hh?0v(x?h)v(x)
?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)v2(x)
法则(3)可简单地表示为 (uv)??u?v?uv?v2
(uv)uv (uv)uvuv (uu?v?uv)??v?v2
定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如vv(x)、ww(x)均可导 则有
设uu(x)、