第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：

1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念 一、引例

1．直线运动的速度

设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻t质点的坐标为s s是t的函数 sf(t)

求动点在时刻t0的速度 考虑比值

s?s0f(t)?f(t0)? t?t0t?t0这个比值可认为是动点在时间间隔tt0内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在

实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令t

t00 取比值

v?limt?t0f(t)?f(t0)的极限 如果这个极限存在 设为v 即

t?t0

f(t)?f(t0)t?t0这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度 2．切线问题

设有曲线C及C上的一点M 在点M外另取C上一点N 作割线MN 当点N沿曲线C趋于点M时 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线

设曲线C就是函数yf(x)的图形 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0f(x0))处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点M外另取C上一点N(x, y) 于是割线MN的斜率为

y?y0f(x)?f(x0) tan?? ?x?x0x?x0其中为割线MN的倾角 当点N沿曲线C趋于点M时

极限存在 设为k 即

f(x)?f(x0) k?lim

x?x0x?x0 xx0 如果当x 0

时 上式的

存在 则此极限k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里ktan 其中是

切线MT的倾角 于是 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线

二、导数的定义 1

函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限

f(x)?f(x0) lim

x?x0x?x0令

xxx0 则yf(x0

f(x)?f(x0) limx?x0x?x0x)f(x0) f(x)f(x0) xx0相当于x 0 于是

成为 limf(x0??x)?f(x0)?y或lim?x?0?x?x?0?x

定义 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 当自变量x在x0处取得增量x(点

x0x仍在该邻域内)时 相应地函数y取得增量yf(x0x)f(x0) 如果y与x之比当x0时的极限存在 则称函数yf(x)在点x0处可导 并称这个极限为函数

yf(x)在点x0处的导数 记为y?|x?x0 即

f?(x0)?lim也可记为y?|x?x0

f(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x

dydf(x)或 dxx?x0dxx?x0

函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在

导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)h

f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0 在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限lim?x?0f(x0??x)?f(x0)不存在

?x?x?0 就说函数yf(x)在点x0处不可导

如果不可导的原因是由于limf(x0??x)?f(x0)???x也往往说函数yf(x)在点x0处的导数为无穷大 如果函数yf(x)在开区间I内的每点处都可导 就称函数f(x)在开区间I内可导 这时 对于任一x I 都对应着f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原来函数yf(x)的导函数 记作 y?

导函数的定义式 f(x??x)?f(x) y??lim?x?0?xh?0f?(x)

dydx 或

df(x)dx

limf(x?h)?f(x)h

f (x0)与f (x)之间的关系

函数f(x)在点x0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点xx0处的函数值 即

f?(x0)?f?(x)x?x0

导函数f (x)简称导数 而f (x0)是f(x)在x0处的导数或导数f (x)在x0处的值

左右导数 所列极限存在 则定义 f(x)在x0的左导数 f(x)在x0的右导数 如果极限lim?(x0)?limf?h?0?f(x0?h)?f(x0)hf(x0?h)?f(x0)h

?(x0)?limf?h?0?h??0f(x0?h)?f(x0)存在

h则称此极限值为函数在x0的左导数

如果极限f(x0?h)?f(x0)hlim??0h存在

则称此极限值为函数在x0的右导数 导数与左右导数的关系

f?(x0)?Af??(x0)?f??(x0)?A

2．求导数举例

例1．求函数f(x)C（C为常数）的导数 解 f?(x)?limf(x?h)?f(x)h?0h?limC?Ch?0h?0

即

(C )

0

例2 求f(x)?1x的导数

解 f?(x)?limf(x?h)?f(x)1?limx?h?1hxh?0hh?0?lim?h?0h(x?h)x??lim1h?0(x?h)x??1hx2

例3 求f(x)?x的导数? 解 f?(x)?limf(x?h)?f(x)h?0h?limx?h?xh?0h ?limh1

h?0h(x?h?x)?limh?0x?h?x?12x 例2．求函数f(x)x n

(n 为正整数)在xa处的导数 解 f (a)?limf(x)?f(a)?limxn?an1

n2

x?ax?aax?a?lim

n1)x?a(x nx?ax an1

把以上结果中的a 换成x 得 f (x)nx n1

即 (x n)

nx n1

(C)

0 (11x)???x2 (x)??12x (x?)????x??1

更一般地 有(x

)x

1

其中为常数 例3．求函数f(x)sin x 的导数 解 f (x)?limf(x?h)?f(x)sin(x?h)?sinxh?0h?limh?0h??lim1h?0h?2cos(x?hh2)sin2??limcos(x?hsinhh?02)?h2?cosx

2即 (sin x)cos x

用类似的方法 可求得 (cos x )

sin x

na