证明：（1）∵OC＝OB ∴∠OBC＝∠OCB ∵OC∥BD ∴∠OCB＝∠CBD ∴∠OBC＝∠CBD ∴

（2）连接AC，

∵CE＝1，EB＝3， ∴BC＝4 ∵

∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ∴△ACE∽△BCA ∴

∴AC2＝CB?CE＝4×1 ∴AC＝2， ∵AB是直径

29

∴∠ACB＝90° ∴AB＝＝2

∴⊙O的半径为

（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，

∵PC是⊙O切线，

∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°

∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA ∴△APC∽△CPB ∴

∴PC＝2PA，PC2＝PA?PB ∴4PA2＝PA×（PA+2）

∴PA＝ ∴PO＝

∵PQ∥BC

∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°

30

∴△PHO∽△BCA ∴

即

∴PH＝∴HQ＝

，OH＝

＝

∴PQ＝PH+HQ＝

14．（2019?江西）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．

（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；

（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

（1）证明：连接OC，

∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径， ∴AB⊥AD， ∵CD∥AB，BC∥OD，

∴四边形BODC是平行四边形，

31

∴OB＝CD， ∵OA＝OB， ∴CD＝OA，

∴四边形ADCO是平行四边形， ∴OC∥AD， ∵CD∥BA， ∴CD⊥AD， ∵OC∥AD， ∴OC⊥CD，

∴CD是半圆的切线；

（2）解：∠AED+∠ACD＝90°， 理由：如图2，连接BE， ∵AB为半圆的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EBA+∠BAE＝90°， ∵∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAE， ∵∠ACE＝∠ABE， ∴∠ACE＝∠DAE， ∵∠ADE＝90°，

∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．32