∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°， ∴△ABM∽△ACD， ∴＝

，

∴BM＝

CD，

∴BD＝BM+DM＝CD+2AD； 故答案为：BD＝

CD+2AD；

（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD； 理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°，

过A作AM⊥AD交BD于M， ∴∠MAD＝90°， ∴∠BAM＝∠DAC， ∴△ABM∽△ACD， ∴

＝，

∴BM＝CD，

∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠MAD＝90°， ∴△ADM∽△ACB， ∴

＝

＝，

∴DM＝AD，

21

∴BD＝BM+DM＝CD+AD． 故答案为：BD＝CD+AD

．（2019?扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．

①求∠AQB的度数；

22

10

②若OA＝18，求的长．

（1）证明：连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵PC＝CB， ∴∠CPB＝∠PBC， ∵∠APO＝∠CPB， ∴∠APO＝∠CBP， ∵OC⊥OA， ∴∠AOP＝90°， ∴∠OAP+∠APO＝90°， ∴∠CBP+∠ABO＝90°， ∴∠CBO＝90°， ∴BC是⊙O的切线；

（2）解：①∵∠BAO＝25°， ∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，23

∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝②∵∠AQB＝65°， ∴∠AOB＝130°， ∴

的长＝

的长＝

130°＝65°；

＝23π．

11．（2019?鄂州）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于

E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：E为△PAB的内心； （3）若cos∠PAB＝

，BC＝1，求PO的长．

（1）证明：连结OB， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB⊥PO，

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