3．（2019?杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA． （1）若∠BAC＝60°， ①求证：OD＝OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．

解：（1）①连接OB、OC，

则∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°， ∴∠OBC＝30°， ∴OD＝OB＝OA； ②∵BC长度为定值，

ACB＝n∠OED（m，n是5

∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大， 当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝， △ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝（2）如图2，连接OC，

；

设：∠OED＝x，

则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，

则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，

∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx， ∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x， 即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x， 化简得：m﹣n+2＝0．

4．（2019?宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与

AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F． （1）求证：BD＝BE．

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（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长． （3）设

＝x，tan∠DAE＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°，

∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°， ∴∠DEB＝∠D， ∴BD＝BE；

（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G， ∵△ABC是等边三角形，AC＝6， ∴BG＝

，

∴在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，

∵BF⊥EC， ∴BF∥AG，

7

∴，

∵AF：EF＝3：2， ∴BE＝BG＝2， ∴EG＝BE+BG＝3+2＝5， 在Rt△AEG中，AE＝

；（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H，

∵∠EBD＝∠ABC＝60°， ∴在Rt△BEH中，，

∴EH＝，BH＝，

∵

，

∴BG＝xBE，

∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，

∴AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，

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