∴＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2，

得（4k）2+（3k）2＝152，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3， ∴x＝BP＝3×3＝9，

故当x＝9时，圆心O落在AP上； ∵AP是⊙O的直径， ∴∠AEP＝90°， ∴PE⊥AD， ∵?ABCD， ∴BC∥AD ∴PE⊥BC

（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G， ∵?ABCD， ∴BC∥AD， ∴∠CBG＝∠DAB ∴

＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，

设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3， ∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7，∴AG＝AB+BG＝3+9＝12 ∴tan∠CAP＝

＝

＝1，

∴∠CAP＝45°；

37

连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝AP＝， 在Rt△CPG中，∵CP是⊙O的切线，

∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90° ∴∠OPH＝∠PCG ∴△OPH∽△PCG ∴∴OP＝

，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，

＝

＝13，

∴劣弧长度＝＝，

∵＜2π＜7

长度．

∴弦AP的长度＞劣弧

（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°， 当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M， ∵∠DAB＝∠CBP， ∴∠CPM＝∠CBP ∴CB＝CP， ∵CM⊥AB

∴BP＝2BM＝2×9＝18， ∴x≥18

38

17．（2019?宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．

（1）填空：点A 在 （填“在”或“不在”）⊙O上；当

＝

时，tan∠AEF的值是；

（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；

（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；

（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当

AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．

39

解：（1）连接AO，

∵∠EAF＝90°，O为EF中点， ∴AO＝EF， ∴点A在⊙O上， 当

＝

时，∠AEF＝45°，

∴tan∠AEF＝tan45°＝1， 故答案为：在，1； （2）∵EF⊥FH， ∴∠EFH＝90°，

在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF+∠AFE＝90°， ∠AFE+∠DFH＝90°， ∴∠AEF＝∠DFH，

40