冲刺中考《圆》压轴真题训练

1．（2019?遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，

BC＝6．

（1）求证：∠COD＝∠BAC； （2）求⊙O的半径OC； （3）求证：CF是⊙O的切线．

解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径， ∴∠GAF＝90°， ∵AG∥BC， ∴AE⊥BC， ∴CE＝BE， ∴∠BAC＝2∠EAC， ∵∠COE＝2∠CAE， ∴∠COD＝∠BAC； （2）∵∠COD＝∠BAC，

1

∴cos∠BAC＝cos∠COE＝∴设OE＝x，OC＝3x， ∵BC＝6， ∴CE＝3， ∵CE⊥AD， ∴OE2+CE2＝OC2， ∴x2+32＝9x2， ∴x＝

（负值舍去），

，

＝，

∴OC＝3x＝

∴⊙O的半径OC为（3）∵DF＝2OD， ∴OF＝3OD＝3OC， ∴

，

∵∠COE＝∠FOC， ∴△COE∽△FOC， ∴∠OCF＝∠DEC＝90°， ∴CF是⊙O的切线．

2．（2019?温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，

E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

2

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形． （2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

（1）证明：连接AE， ∵∠BAC＝90°， ∴CF是⊙O的直径， ∵AC＝EC， ∴CF⊥AE， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， 即GD⊥AE， ∴CF∥DG， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠ACD+∠BAC＝180°， ∴AB∥CD，

∴四边形DCFG是平行四边形； （2）解：由CD＝AB，

3

设CD＝3x，AB＝8x， ∴CD＝FG＝3x， ∵∠AOF＝∠COD， ∴AF＝CD＝3x，

∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x， ∵GE∥CF， ∴，

∵BE＝4， ∴AC＝CE＝6， ∴BC＝6+4＝10， ∴AB＝＝8＝8x， ∴x＝1，

在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝

＝3

， 即⊙O的直径长为3

．

4