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三角函数参考答案与试题解析
1.(2010?嘉祥县校级模拟)已知函数
,且f(x)在区间
A.2 C.
B.
D.
(ω>0),
单调递减,则ω的值为( )
【考点】正弦函数的单调性;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】通过
,推出
单调递减,推出ω的范围,然后求出ω.
【解答】解:又f(x)在区间∴
且
单调递减,
,∴0<ω≤2.∴ω=2.
,
,
,结合f(x)在区间
故选A. 【点评】本题是中档题,考查三角函数的图象以及性质,正弦函数的单调性,考查计算能力,逻辑推理能力.
2.(2006?奉贤区一模)函数
,则集合{x|f(f(x))=0}元
素的个数有( ) A.、2个 B.3个 C.4个 D.5个 【考点】三角函数的化简求值.
【专题】计算题;压轴题;分类讨论.
【分析】根据分段函数f(x)解析式,我们结合集合元素要满足的性质f[f (x)]=0,易通过分类讨论求了所有满足条件的x的值,进而确定集合中元素的个数. 【解答】解:当x≤0时,f(x)=0可得x=0
当0<x≤π时,若f(x)=4sinx=0,则sinx=0,则x=π
当x≤0时,若f(x)=x=π,则x=﹣
2
,
当0<x≤π时,若f(x)=4sinx=π,则sinx=,则x=
,
又∵f[f (x)]=0
∴f (x)=0,或f (x)=π
把每一个孩子,当做自己的孩子。
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∴x=﹣,或x=0,或x=,或 ,或x=π
故选:D 【点评】本题考查的知识点是集合中元素的个数及分段函数的函数值,其中根据分段函数的解析式,利用分类讨论的思想构造关于x的方程是解答本题的关键
3.(2015秋?广东月考)若0<x<A.
B.
C.
,0<y<,且sinx=xcosy,则( )
D.x<y
【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由于0<x,y<
,可得0<sinx<x<tanx,由sinx=xcosy,可得cosy=
>
=cosx,即y<x,再利用倍角公式可得cosy=<cos,即可得出.
【解答】解:∵0<x,y<∴0<sinx<x<tanx, 又∵sinx=xcosy, ∴cosy=故y<x,
又∵sinx=xcosy,即
>
,
=cosx,
=xcosy
∴cosy=<cos,
故y>, 综上所述,故选:C.
【点评】本题考查了“0<x,y<
,可得0<sinx<x<tanx”性质及其三角函数的单调性、
,
不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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4.(2014秋?武侯区校级月考)已知三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b同时满足以下三个条件:
①定义域为R;
②对任意实数x都有f(x)≤f(3); ③f(x+2)=+
,
则f(x)的单调区间为( )
A.[4k﹣1,4k+3],k∈Z B.[4k+1,4k+3],k∈Z C.[8k﹣2,8k+2],k∈Z D.[8k+2,8k+6],k∈Z 【考点】正弦函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】依题意,知f(x)max=f(3)与f(1+2)=+
取得最大值,
可知在X=3时,f(3)取到最大值,在X=1时,取得最小值,故其周期为4,从而可得答案.
【解答】解:∵对任意实数x都有f(x)≤f(3), ∴f(x)max=f(3); 又f(x+2)=+
2
,
由f(x)﹣f(x)≥0得:0≤f(x)≤1,即f(x)max=1=f(3),f(x)min=0, 又当x=1时,(f3)=f(1+2)=+
=1,即+
=1,
解得:f(1)=; 又f(3+2)=+
,即f(5)=+0=,即f(1+4)=f(1),同理可得
f(7)=f(3)=1,
由正弦函数的性质可知,其周期为4,
∴f(x)的单调区间为[4k+1,4k+3],k∈Z. 故选:B.
【点评】本题考查正弦函数的单调性,对关系式f(x+2)=+与应用是难点,分析得到其周期为4是关键,属于难题.
5.(2013?和平区校级二模)函数f(x)在R上既是奇函数又是减函数,且当θ∈(0,时,f(cos2θ+2msinθ)+f(﹣2m﹣2)>0恒成立,则实数m的取值范围是 【考点】复合三角函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 【专题】压轴题;函数的性质及应用.
的理解
) .
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2
【分析】根据函数是奇函数原不等式化简为f(cos2θ+2msinθ)>f(2m+2),再借助于函数的单调性可得1﹣2sinθ+2msinθ<2m+2,利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案.
【解答】解:∵函数f(x)在R上是奇函数,f(cos2θ+2msinθ)+f(﹣2m﹣2)>0 ∴f(cos2θ+2msinθ)>f(2m+2) ∵y=f(x)是减函数,
∴cos2θ+2msinθ<2m+2恒成立.
∴1﹣2sinθ+2msinθ<2m+2恒成立.
2
设t=sinθ∈(0,1),等价于2t﹣2mt+2m+1>0在t∈(0,1)恒成立.
2
只要g(t)=2t﹣2t+2m+1在[0,1]的最小值大于0即可.
(1)当m<0时,最小值为g(0)=2m+1≥0,所以可得:0>m≥﹣ (2)当0≤m≤1时,最小值为g()=﹣m+2m+1≥0,所以可得:0≤m≤1 (3)当m>1时,最小值为g(1)=2≥0恒成立,得:m>1, 综之:m≥﹣为所求的范围. 故答案为:m≥﹣.
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
6.(2012?安徽模拟)函数
,对于下列结论:
①
;②
;③
; .
的一个零点为,且
2
2
④f(x)的单调减区间是⑤f(x)的单调增区间是
其中正确的结论是 ①②⑤ .(填写所有正确的结论编号)
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;复合三角函数的单调性. 【专题】压轴题.
【分析】由题意可得f(x)=sin(x+φ),由f()=0,,
可确定φ,从而对①②③④⑤逐个判断即可. 【解答】解:由题意可得:f(x)=∵f()=0, ∴sin(
+φ)=0,
sin(
x+φ),
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