易得平面ABB1A1的一个法向量为n＝(0，1，0)． →

又BC1＝(－1，3，h)．

→

π|BC1·n|→

所以sin ＝|cos〈BC1，n〉|＝.

6→

|BC1|·|n|即

1

＝，解得h＝22. 2

h2＋43

13.(2019·温州十五校联考)已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，∠BAD＝60°，将△BDC沿着BD折起得△BDC′，连接AC′.

(1)求证：平面AOC′⊥平面ABD；

(2)若点C′在平面ABD上的投影恰好是△ABD的重心，求直线CD与底面ADC′所成角的正弦值．

解：(1)证明：因为C′O⊥BD，AO⊥BD，C′O∩AO＝O，所以BD⊥平面C′OA，又因为BD?平面ABD，所以平面AOC′⊥平面ABD.

(2)如图建系O-xyz，令AB＝a，则 A?

13?0，a，0?， a，0，0，B???2??2

1

0，－a，0?， D?2??C′?

36?a，0，a，

3??6

312→→

所以DC＝AB＝?－a，a，0?，平面ADC′的法向量为m＝?1，－3，?，设直线CD

22??2??与底面ADC′所成角为θ，则

→|DC·m|3a6→

sin θ＝|cos〈DC，m〉|＝＝＝，

33→

|DC||m|a·

2

故直线CD与底面ADC′所成角的正弦值为

6. 3

14.(2019·宝鸡市质量检测(一))如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点，点F是PC的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)若底面ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C-AF-D的大小为60°？

解：易知AD，AB，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AB＝2a，AD＝2b，AP＝2c，则A(0，0，0)，B(2a，0，0)，

C(2a，2b，0)，D(0，2b，0)， P(0，0，2c)．

设AC∩BD＝O，连接OE，则O(a, b，0)，又E是PD的中点，所以E(0，b，c)． →→

(1)证明：因为PB＝(2a，0，－2c)，EO＝(a，0，－c)， →→→→

所以PB＝2EO，所以PB∥EO，即PB∥EO. 因为PB?平面AEC，EO?平面AEC， 所以PB∥平面AEC.

(2)因为四边形ABCD为正方形，所以a＝b，A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2c)，E(0，a，c)，F(a，a，c)，

→

因为z轴?平面CAF，所以设平面CAF的一个法向量为n＝(x，1，0)，而AC＝(2a，2a，0)，

→

所以AC·n＝2ax＋2a＝0，得x＝－1， 所以n＝(－1，1，0)．

→

因为y轴?平面DAF，所以设平面DAF的一个法向量为m＝(1，0，z)，而AF＝(a，a，c)， a→

所以AF·m＝a＋cz＝0，得z＝－，

ca

所以m＝(1，0，－)∥m′＝(c，0，－a)．

c

|n·m′|

cos 60°＝＝|n||m′|

1

＝，得a＝c. 2

2（a2＋c2）

c

故当AP与正方形ABCD的边长相等时，二面角C-AF-D的大小为60°.