专题强化训练
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为( )
1
A. 33C. 5
2B. 53D. 7
解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)．
→→
所以EA＝(2，－1，0)，D1F＝(0，2，－1)， →→EA·D1F－22→→
cos〈EA，D1F〉＝＝＝－.
5→→5·5|EA||D1F|2
则直线AE与D1F所成角的余弦值为.
5
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
1A. 2C.3 3
2B. 3D.2 2
解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长1
1，0，?， 为1，则A1(0，0，1)，E?2??
D(0，1，0)，
→
所以A1D＝(0，1，－1)， 1→
1，0，－?， A1E＝?2??
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
???y－z＝0，?y＝2，则?1所以?
???z＝2.?1－2z＝0，
所以n1＝(1，2，2)．
因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 22
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
3×132
即所成的锐二面角的余弦值为.
3
3．(2019·浙江省十校联合体期末联考)在三棱锥O-ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直11
且相等，点P、Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP≤BC，AQ≥AO，则PQ和
22OB所成角的余弦的取值范围是( )
A.?C.?2?
?2，1?
B.?3?
?3，1?225?
?2，5?
325?
?3，5?
D.?
解析：选B.根据题意，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标→
系，不妨设OA＝OB＝OC＝2，OB＝(2，0，0)，设
11
P(x，y，0)，Q(0，0，z)，因为BP≤BC，AQ≥AO，所以1≤x≤2，
22
→→??OB·PQ?→→→?0≤y≤1且x＋y＝2，0≤z≤1，PQ＝(－x，x－2，z)，|cos〈OB，PQ〉|＝
→→??|OB
?|·|PQ|?
?－x???， ＝
?2x2－4x＋4＋z2???
3→→
当x＝1，z＝1时，|cos〈OB，PQ〉|＝；
325→→
当x＝2，z＝1时，|cos〈OB，PQ〉|＝；
5→→
当x＝2，z＝0时，|cos〈OB，PQ〉|＝1.
2→→
当x＝1，z＝0时，|cos〈OB，PQ〉|＝，结合四个选项可知PQ和OB所成角的余弦的
2取值范围是?
3?
.
?3，1?
π
4．(2019·宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝
2AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为( )
A.?C.?5?
?5，1?
B.?5?
?5，1?25?
?5，1?
25?
?5，1?
D.?
解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，11
0，1，?，G?，0，1?，F(x，0，0)，D(0，y，0)， E?2???2?
由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0， DF＝
x2＋y2＝
21
y－?＋， 5??5?5
2
1
由x＝1－2y>0，得y<，
2
21
所以当y＝时，线段DF长度的最小值是，
55
当y＝0时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y＝0不能取，故选A. 5．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1
与BC1所成角的余弦值为( )
A.C.3 210 5
B.D.
15 53 3
解析：选C.如图所示，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝5，AD1＝2.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，
所以B1D1＝
12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，
5＋2－3
10所以cos∠B1AD1＝＝，选择C.
52×5×2
6.(2019·杭州市学军中学高考数学模拟)如图，在二面角A-CD-B中，BC⊥CD，BC＝CD＝2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB＝3.现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是________．
→→→→解析：由题意得AD⊥DC，DC⊥CB，
→→
设平面ADC沿着CD进行翻折过程中，二面角A-CD-B的夹角为θ，则〈DA，CB〉＝θ，→→→→→→→→→→→→→→因为AB＝AD＋DC＋CB，所以平方得AB2＝AD2＋DC2＋CB2＋2AD·DC＋2CB·AD＋2DC·CB，
设AD＝x，因为BC＝CD＝2，AB＝3， 所以9＝x2＋4＋4－4xcos θ，
x2－1
即x2－4xcos θ－1＝0，即cos θ＝.
4xx2－1
因为－1≤cos θ≤1，所以－1≤≤1，
4x
22???x－1≤4x?x－4x－1≤0即?，即?，
22???x－1≥－4x?x＋4x－1≥0
??2－5≤x≤2＋5，则? ?x≥－2＋5或x≤－2－5.?
因为x>0，所以5－2≤x≤5＋2， 即AD的取值范围是[5－2，5＋2]． 答案：[5－2，5＋2]
7．(2019·台州市高考模拟)如图，在棱长为2的正四面体A-BCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|＝3.若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于________．(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积)
解析：如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|＝3，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上；当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|＝3，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，