(人教版)2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第6节 空间向量及其运算学案 北师大版 下载本文

1.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( ) A.-2

14B.-

3

2

14C. 5

D.2

解析 由题意知a·(a-λb)=0,即a-λa·b=0,所以14-7λ=0,解得λ=2. 答案 D

2.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 C.异面

B.平行 D.相交但不垂直

→→→→→→

解析 由题意得,AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1),所以AB=-3CD,所以AB与CD共线,又AB与CD没有公共点,所以AB∥CD. 答案 B

3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.→→→→

若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是( ) 11

A.-a+b+c

2211

C.-a-b+c

22

11

B.a+b+c 2211

D.a-b+c 22

→→→→1→→

解析 BM=BB1+B1M=AA1+(AD-AB)

2111

=c+(b-a)=-a+b+c.

222答案 A

4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,→→

则AE·AF的值为( ) A.a 12

C.a 4

2

12B.a 2D.32a 4

→→→

解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c,

则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°. →

AE=(a+b),AF=c,

12

12

9

1→→1

∴AE·AF=(a+b)·c

22

112122

=(a·c+b·c)=(acos 60°+acos 60°)=a. 444答案 C

5.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值为( ) 3-22A.

51C. 2

2-2B.

6D.3 2

→→→

解析 因为BC=AC-AB, →→→→→→所以OA·BC=OA·AC-OA·AB

→→→→→→→→=|OA||AC|cos〈OA,AC〉-|OA||AB|cos〈OA,AB〉 =8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=-162+24. →→OA·BC→→

所以cos〈OA,BC〉=

→→|OA||BC|24-1623-22==.

8×55

3-22即OA与BC所成角的余弦值为.

5答案 A 二、填空题

6.(2018·郑州调研)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ等于________.

解析 由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3), 2x-y=7,??

∴?x+2y=6,解得λ=-9. ??-3x+3y=λ,答案 -9

7.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点,则EF的长为________. →2→→→2解析 |EF|=(EC+CD+DF)

10

→2→2→2→→→→→→=EC+CD+DF+2(EC·CD+EC·DF+CD·DF)

=1+2+1+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°) =2,

∴|EF|=2,∴EF的长为2. 答案

2

2

2

2

8.(2018·南昌调研)已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中→→→→→→→→→

点,点G在线段MN上,且MG=2GN,现用基底{OA,OB,OC}表示向量OG,有OG=xOA+yOB+

zOC,则x,y,z的值分别为________.

→→→1→2→

解析 ∵OG=OM+MG=OA+MN

231→2→→

=OA+(ON-OM) 23

1→?1→2?1→→

=OA+?(OB+OC)-OA?

2?23?21→1→1→

=OA+OB+OC, 633111∴x=,y=,z=. 633111答案 ,,

633

三、解答题

→→

9.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC. →

(1)若|c|=3,且c∥BC,求向量c; (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.

→→

解 (1)∵c∥BC,BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2), →

∴c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m), ∴|c|=(-2m)+(-m)+(2m)=3|m|=3, ∴m=±1.∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,

11

2

2

2

又∵|a|=1+1+0=2, |b|=(-1)+0+2=5,

2

2

2

222

a·b-110

∴cos〈a,b〉===-,

|a|·|b|1010

故向量a与向量b的夹角的余弦值为-

10

. 10

10.如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,

BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角

坐标系O-xyz.

(1)写出点E,F的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E;

→1→→

(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:A1F=A1C1+A1E.

2(1)解 E(a,x,0),F(a-x,a,0). (2)证明 ∵A1(a,0,a),C1(0,a,a), →→

∴A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a), →→2

∴A1F·C1E=-ax+a(x-a)+a=0, →→∴A1F⊥C1E, ∴A1F⊥C1E.

(3)证明 ∵A1,E,F,C1四点共面, →→→

∴A1E,A1C1,A1F共面.

→→→→选A1E与A1C1为在平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使A1F=λ1A1C1+

λ2A1E,

即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a) =(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2), -x=-aλ1,??1

∴?a=aλ1+xλ2,解得λ1=,λ2=1.

2

??-a=-aλ2,→1→→于是A1F=A1C1+A1E.

2

12