第6节 空间向量及其运算

最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

知 识 梳 理

1.空间向量的有关概念

名称 空间向量 相等向量 相反向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 (或平行向量) 共面向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达→→→→→→→→→→→式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点O，有OP＝OM＋xMA＋yMB或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝1.

(3)空间向量基本定理

如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数

平行于同一个平面的向量 定义 在空间中，具有大小和方向的量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.

空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念

→→

①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOBπ

叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b2

1

互相垂直，记作a⊥b.

②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积 共线 垂直 模 夹角 向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2222a2b21＋a2＋a3·1＋b2＋b3[常用结论与微点提醒]

→→→

1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.

→→→→

2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.

3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面.( )

(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.( )

(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.( ) (4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角.( )

解析 对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中

2

有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确.

答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A.a，a＋b，a－b B.b，a＋b，a－b C.c，a＋b，a－b D.a＋b，a－b，a＋2b

解析 若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，

c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间

向量的一组基底. 答案 C

→→→

3.如图所示，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中→

点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示).

1→1→→11→111→→111→→→

解析 OE＝OA＋AE＝a＋AD＝a＋(OD－OA)＝a＋OD＝a＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c.

2222222244111

答案 a＋b＋c

244

4.（2018·宜春月考）已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝____________. 解析 a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2， ∴|b|＝（－4）＋2＋2＝26. 答案 26

5.已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.

解析 a＋b＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)，

2

2

2

a－b＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)，

∴(a＋b)·(a－b)＝(cosθ－sinθ)＋(sinθ－cosθ)＝0， π∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是.

2答案

π 2

考点一 空间向量的线性运算

2

2

2

2

3

→→

【例1】 如图所示，在简单几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB＝b，→

AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

→→→(1)AP；(2)MP＋NC1.

→→→→→1→

解 (1)因为P是C1D1的中点，所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1

21→1

＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.

22

→→→

(2)因为M是AA1的中点，所以MP＝MA＋AP 1→→＝A1A＋AP 2

1?111?

＝－a＋?a＋c＋b?＝a＋b＋c.

2?222?→→→1→→

又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1

21→→1

＝AD＋AA1＝c＋a， 22

→→?11??1?所以MP＋NC1＝?a＋b＋c?＋?a＋c?

?22??2?313

＝a＋b＋c. 222

规律方法 1.选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. 2.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.

提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算. 【训练1】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. →1→1→

(1)化简：A1O－AB－AD＝________.

22

4