6.

§3．2正规于群和商群

一、主要内容

1．正规子群定义、性质和例子．性质主要有

2)正规子群在同态满射下的象和逆象均仍为正规于群．

3)正规子群与子群之积是子群；正规子群与正规子群之积是正规子群．

2．商群定义及商群的一个应用(Cauchy定理pn阶交换群必有p阶子群，其中p为素数)．

3．介绍由正规子群来界定的两类群：哈密顿群和单群．这是两类在群论研究中占很重要地位的群． 二、释疑解难

1．教材在本节所举的例子中，应该十分注意S4、及Sn(n≠4)的正规子群的状况．因为这涉及S2，S3及S4都是可解群(参考本节习题第8题)，而当n≥5时Sn不是可解群．这种名称来源于一般的二、＝、四次代数方程都有求根公式，即可根式解，但一般的五次和五次以上助代数方程都没有求根公式，即不可根式解．

这是在教材中已经证明了的．对此也可以采取以下证法：

这种证法是最原始的一种证法，当然不如教材中的证法简单．其所以简单，是由于利用了子集乘法的性质(AB)C＝A(BC)以及Nb＝bN和N2＝N．

3．在本教材中，共有三个定理(本节定理5、§6定理3及§8定理1)涉及pn(p是素数)阶群G必有p阶子群．从表面上看，这三个定理似有重复之感．实际上三者互相联系紧密，而且其中任何一个都不能由另一个所代替．这是因为，本节定理5是假设G为交换群，§6定理3并不假设G为交换群，但在证明中要用到本节定理5；又§8定理1(即第一sylow定理)又要用到§6定理3．因此，三者密不可分，而且哪一个也不是多余的．对此，示意如下：

4．李型单群是李代数中谢瓦菜单群和单扭群的统称，它们是一些由矩阵作成的群． 三、习题§3．2解答 1．略 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

§3．3 群同态基本定理

一、主要内容

1．在同构意义下，每个群能而且只能与其商群同态．即指以 下两点：

2．在同态映射下，循环群的同态象是循环群．

3．若G～G，则群G的所有包含核的子群同已的G有于群间有一个保持包含关系的双射．

二、释疑解难

三、习题§3．3解答 1.

2.

3.

4.

5.