22. 证 反证法.设A4有6阶子群H,则H除恒等置换(1)外,
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第三章 正规子群和群的同态与同构
§3.1 群同态与同构的简单性质 一、主要内容
二、释疑解难
1.对于群同态映射?有时不必要求是满射,有时又必须要求是满射.例如教材本节定理1中的同态映射必须是满射,而定理2和定理3的同态映射?则不要求是满射.原因很简单:因为定理1中的同态映射?若不是满射,则G中必有元素没有逆象,从而?以及群G中元素的性质对它们不会产生任何影陶,此时G当然就不一定作成群;然而定理2和定理3的情形可就不同了:因为这时G也是群,而且在同态映射? (不一定是满射)之下单位元必有逆象,而于群必合单位元,从而G的于群H必有逆象,不会是空集.
例1 设G加F零有理数乘群,G为全体有理数对乘法作成的幺半群.则
显然为G到G的一个同态映射(不是满射).虽然G是群,但G对?不仅不是群,连半群也不是(因为其代数运算不满足结合律).
2.关于教材例3,若利用第三章§6定理3(若G=pn.则群G有p阶元)的结论,则其证明可大为简化.现在本节是利用前面已学过的知识来证明,这也是Lagrange定理和已知结论
的一种应用.这样做虽然梢麻烦一点,但也很有意义. 三、习题§3.1解答
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3.
4.
5. 证 因为G=4,G又不是循环群,从而G无4阶元.于是由Lagrange定理知,G中除单位元e外每个元素的阶均为2.因此,若令