22. 证 反证法．设A4有6阶子群H，则H除恒等置换(1)外，

23.

24.

25.

26.

第三章 正规子群和群的同态与同构

§3．1 群同态与同构的简单性质 一、主要内容

二、释疑解难

1．对于群同态映射?有时不必要求是满射，有时又必须要求是满射．例如教材本节定理1中的同态映射必须是满射，而定理2和定理3的同态映射?则不要求是满射．原因很简单：因为定理1中的同态映射?若不是满射，则G中必有元素没有逆象，从而?以及群G中元素的性质对它们不会产生任何影陶，此时G当然就不一定作成群；然而定理2和定理3的情形可就不同了：因为这时G也是群，而且在同态映射? (不一定是满射)之下单位元必有逆象，而于群必合单位元，从而G的于群H必有逆象，不会是空集．

例1 设G加F零有理数乘群，G为全体有理数对乘法作成的幺半群．则

显然为G到G的一个同态映射(不是满射)．虽然G是群，但G对?不仅不是群，连半群也不是(因为其代数运算不满足结合律)．

2．关于教材例3，若利用第三章§6定理3(若G＝pn．则群G有p阶元)的结论，则其证明可大为简化．现在本节是利用前面已学过的知识来证明，这也是Lagrange定理和已知结论

的一种应用．这样做虽然梢麻烦一点，但也很有意义． 三、习题§3．1解答

1．

2.

3.

4.

5. 证 因为G＝4，G又不是循环群，从而G无4阶元．于是由Lagrange定理知，G中除单位元e外每个元素的阶均为2．因此，若令