12.

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14. 证 若G是有限群，则G的子集个数是有限的，从而其子群个数当然也是有限的．

反之，若群G只有有限个子群，则G中显然不能有无限阶元素，因为无限循环群有无限个子群．这样，G中每个元素的阶都有限．任取a1∈G，则a1是G的一个有限于群；再取a2∈G一a1，于是a2是G的一个异于a1的有限于群．再取

a3∈G一a1Ua2，

同理a3又是G的一个异于a1，a2的有限子群．但G只有有限个子群，故这种过程不能无限地持续下去，从而必存在s使

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