§2. 3 子 群

一、主要内容

1．子群的定义和例子．特别是，特殊线性群(行列式等于l的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的子群．

4．群的中心元和中心的定义． 二、释疑解难

１．关于真子群的定义．

教材把非平凡的子群叫做真子群．也有的书把非G的于群叫做群G的真子群．不同的定义在讨论子群时各有利弊．好在差异不大，看参考书时应予留意．

2．如果H与G是两个群，且H?G，那么能不能说H就是G的子群?

答：不能．因为子群必须是对原群的代数运算作成的群．例如，设G是有理数加群，而H是正有理数乘群，二者都是群，且H?G但是不能说H是G的子群．

答：不能这样认为．举例如下． 例2 设G是四元数群．则显然 是G的两个子群且易知

反之亦然．

三、习题2．3解答 1．证 赂．

2．证 必要性显然，下证充分性．

设子集H对群G的乘法封闭，则对H中任意元素a和任意正整数m都有am∈H． 由于H中每个元素的阶都有限，设a＝n，则

3．

对非交换群一放不成立．例如，有理数域Q上全体2阶可逆方阵作成的乘群中，易知 a????12??13???? ， b?????0?1??0?1??11?ab???01??

??的阶有限，都是2，但易知其乘积

的阶却无限．即其全体有限阶元素对乘法不封闭，故不能作成子群．

4．证 由高等代数知，与所有n阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证． 5．证 因为(m，n)＝1，故存在整数s，t使 ms十n t＝1． 由此可得

6．

7．

§2. 4 循 环 群

一、主要内容

1．生成系和循环群的定义．

2．循环群中元素的表示方法和生成元的状况．

3．循环群在同构意义下只有两类：整数加群和n次单位根乘群，其中n＝1，2，3，?． 4．循环群的子群的状况．

无限循环群有无限多个子群．n阶循环群a有T(n)(n的正出数个数)个子群，且对n的每个正因数k，ank有且仅有一个k阶子群a．

二、释疑解难

1．我们说循环群是一类完全弄清楚了的群，主要是指以下三个方面：

1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定．其生成元的状况也完全清楚(无限循环群有两个生成元，

n阶循环群a有?(n)个生成元而且ak是生成元?(k?n)＝1)；

2)循环群的子群的状况完全清楚；

3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都与整数加群同构；另一类是n(n＝1，2，?)阶循环群，都与n次单位根乘群同构．

2．循环群不仅是一类完全弄清楚了的群，而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类．例如由下一章§9可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积．更一般地，任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积．由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类．它在各种应用中有着非常重要的作用．例如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具．

三、习题§2. 4解答 1.

2.

3.