又2P(X?1)?P(X?2)，即
2??11!e????22!e??
由于参数?>0，所以解得??4．
43?4?e? P{X?3}3!D(X)???4． 0.1，95 43． 在一个繁忙的交通路口，设单独一辆汽车发生意外事故的概率为p＝0.001． 如果某段时间内有1 000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？
解 设出事故的次数为X，则X~b(1000,0.001)，即有
P{X≥1}?1?P{X?0}
由泊松定理（这里??np?1000?0.001?1）得
P{X≥1}?1?P{X?0}?1?e?1?0.6322．
4． 一本5万字的学生用书，按常规允许出错率为0.000 1，求该书不多于10个错误的概率．
解 设出错误的次数为X，则X~b(50000,0.0001)，即有
P{X≤10}??P{X?i}
i?010由泊松定理（这里??np?50000?0.0001?5），并查泊松分布表，得
P{X≤10}??P{X?i}?0.986．
i?0105． 大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为?t
的泊松分布，求（1）相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率．
解 （1）由于T是非负随机变量，当t?0时，F(t)?P{T≤t}?0． 当t≥0时，由于事件{T?t}与事件{N(T)?0}等价，因此
F(t)?P{T≤t}?1?P{T?t}?1?P{N(t)?0}?1?e??t．
?1?e??t, t≥0;? 即T服从参数为?的指数分布， F(t)??
?? 0, t?0.（2）由上可知所求无故障工作8小时的概率为
P{T≥16,T≥8}P{T≥16}e?16?P{T≥16T≥8}????8??e?8?．
P{T≥8}P{T≥8}e6． 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响． 如果每台设备发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01．
解 设需配备N名维修工人，记同一时刻发生故障的机器台数为X，则
X~b(100,0.01)．
由题设，需确定最小的N，使得P{X?N}?0.01，即P{X≤N}≥0.99． 由泊松定理，这里??np?100?0.01?1，有
P{X≤N}??i?0N?ie??1ie?1??≥0.99， i!i!i?0N查泊松分布表可求得满足此式最小的N是4，故需至少配备4名维修工人．
7． 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击的命中率为0.4，求E(X2)．
解 由题设，X~b(10,0.4)，则
E(X)?np?10?0.4?4，D(X)?np(1?p)?10?0.4?0.6?2.4，
E(X2)?D(X)?[E(X)]2?2.4?16?18.4．
8． 已知X服从参数为2的泊松分布，求随机变量 Z=3X-2的期望和方差． 解 由题设，X~P(?),??2，则E(X)???2,D(X)???2，
E(Z)?E(3X?2)?3E(X)?2?4， D(Z)?D(3X?2)?9D(X)?18．
9． 某保险公司规定，如果一年内某事件A发生，则公司赔偿客户一笔款a元，公司估算一年内A发生的概率为p，那么为使公司收益的期望值等于a/10，该公司应向客户收取多少保险金？
解 设保险公司应向客户收取的保险金额为x，保险公司的收益为Y，则Y的可能取值为?a,x．随机变量Y的分布列为
Y -a x p 1-p P E(Y)??ap?x(1?p)．
由题设，E(Y)?aa1?10pa． ，从而?ap?x(1?p)?，解得 x?101010(1?p)10． 某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点． 若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元．某件表面疵点数是4个以上则为废品，求产品价值的均值和方差．
解 商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，由题设，??0.8，即
X~P(0.8)．设Y表示每件产品的价值，则Y的可能取值为10，8，0．查泊松
分布表，有
P(Y?10)?P(X≤1)?0.8088，
P(Y?8)?P(1?X≤4)?0.9986?0.8088?0.1898， P(Y?0)?P(X?4)?1?0.9986?0.0014．
所以 E(Y)?9.606,D(Y)?0.7518．
习 题2.5
3． 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立且无故障工作时间均服从参数为?>0的指数分布． 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的概率分布．
解 设Ti={第i个元件无故障工作的时间}，i?1,2,3．则T1,T2,T3相互独立同分布，其分布函数为
?1?e??t, t≥0; F(t)???0, t?0.依题意，T?min{T1,T2,T3}，设其分布函数为FT(t)． 当t?0时，F(t)?0，FT(t)?P{T≤t}?0； 当t≥0时，F(t)?1?e??t，
FT(t)?P{T≤t}?1?P{T?t}?1?P{T1?t,T2?t,T3?t}
?1?P{T1?t}P{T2?t}P{T3?t}?1?[1?F(t)]3?1?e?3?t．
?3?t?1?e, t≥0;故T的分布函数 FT(t)??
?0, t?0.?3?t?3?e, t≥0;密度函数为 fT(t)??
?0, t?0.