所以arctana?0，从而a?0．

由P(a?X?b)?0.5，即P(0?X?b)??有arctanb???，从而b?tan?1． 44b022dx?arctanx?(1?x2)?b0?0.5，

?ke?3x, x?0；11． 设随机变量X的密度函数为f(x)??，求(1)常数k；(2)X

?0, x≤0.1?的分布函数F(x)；(3)P??X??． 2??解 （1）由密度函数的性质?????f(x)dx?1，有

??0?所以k?3．

??01ke?3xdx?k?(?)e?3x3x?k?1， 3（2）分布函数F(x)?P(X≤x)????f(x)dx，

当x≤0时，F(X)?P(X≤x)?0， 当x?0时，F(x)??x??f(x)dx??0dx??3e?3xdx?1?e?3x，

??00x?3x?1?e, x ?0;?所以分布函数为 F(x)?? ?? 0, x≤0.13?1?1??3x（3）P?X???P{0?X?}??23edx?1?e2．

02?2??A?e?2x,x?0;12． 设随机变量X的分布函数为F(x)??，求（1）常数A；

x≤0.?0,（2）P(?1?X≤2)；（3）X的密度函数．

F(x)?A?1?F(0)?0，所以A?1． 解 （1）由F(x)的连续性，有 lim?x?0 （2）P(?1?X≤2)?F(2)?F(?1)?(1?e?4)?0?1?e?4．

?2e?2x （3）f(x)?F?(x)???0x?0x≤0．

13． 设随机变量X的绝对值不大于1，P(X??1)?0.125，P(X?1)?0.25，在事件A?{?1?X?1}出现的条件下，X在区间(?1,1)内的任意子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数F(x)．

解 （1）由条件，当x??1时，F(x)?0．

1F(?1)?P{X≤?1}?P{X??1}?P{X??1}?0.125?．

85X在区间(?1,1)上取值的概率为P{?1?X?1}?1?0.125?0.25?，

8对于?1?X?1，F(x)?P{X≤x}?P{X≤?1}?P{?1?X≤x}， 其中P{X≤?1}?F(?1)?1， 8P{?1?X≤x}?P{?1?X≤x,?1?X?1}

?P{?1?X?1}?P{(?1?X≤x)|(?1?X?1)}

5x?(?1)5(x?1)???， 81?(?1)1615(x?1)故?1≤x?1时，F(x)??．

816?0,?5x?7?于是，X的分布函数为 F(x)??,16???1,

x??1;?1≤x?1;． x≥1.习 题 2.2

4． 盒中有5个球，其中有3白2黑，从中随机抽取2个球，求抽得白球

数X的期望．

解 X的可能取值为0，1，2．

112C3C26C323C21P(X?0)?2?,P(X?1)?2?,P(X?2)?2?，

C510C510C510E(X)?0?163?1??2??1.2． 1010105． 射击比赛，每人射4次（每次一发），约定全部不中为0分，只中1弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分． 甲每次射击命中率为0.6，求他得分的期望．

解 设X表示甲的得分，则X的可能取值为0，15，30，55，100．

1P(X?0)?(0.4)4?0.0265,P(X?15)?C4?0.6?0.43?0.1536， 23 P(X?30)?C4?0.62?0.42?0.3456,P(X?55)?C4?0.63?0.4?0.3456，

P(X?100)?0.64?0.1296． 甲得分的期望为

E(X)?0?0.0265?15?0.1536?30?0.3456?55?0.3456?100?0.1296

?44.636．

6． 某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向同一目标射击，直到第2次击中为止． 求射击次数X的期望．

解 设X1表示第一次击中时的射击次数，X2表示第一次击中后到第二次击中时的射击次数，p?0.8，则

P(Xi?k)?(1?p)k?1p,k?1,2,?，

且X?X1?X2，由题意知，X1和X2相互独立，E(Xi)??k(1?p)k?1p?k?1??1， p

从而 E(X)?E(X1)?E(X2)?22??2.5． p0.8??2 0 1 5?7． 已知随机变量?的分布列为??，

0.3　　0.1　　0.4??0.2　　求E(?)，E(2?3?)，E(?2)，E(?2?2??3)．

解 E(?)??2?0.2?0?0.3?1?0.1?5?0.4?1.7， E(2?3?)?2?3E(?)?2?3?1.7??3.1，

E(?2)?(?2)2?0.2?02?0.3?12?0.1?52?0.4?10.9， E(?2?2??3)?E(?2)?2E(?)?3?10.9?2?1.7?3?10.5．

1?，　?1≤x≤1；28． 设随机变量X的密度函数为f(x)??，求E(X)． 　??1?x?0，　　　　其它.?解 E(X)??x??111?1?x2． dx?0（奇函数在对称区间上的积分为0）

0≤x≤1；?2x，　9． 设随机变量X的密度函数为f(x)?? 　?0，　其它.求E(X)，E(2?3X)，E(X2)，E(X2?2X?3)．

解 E(X)??????x?f(x)dx??x?2xdx?012， 3 E(2?3X)?2?3E(X)?2?3?E(X2)????12?0， 31， 21213?2??3?． 236??x2?f(x)dx??x2?2xdx?0E(X2?2X?3)?E(X2)?2E(X)?3?