则 P(B)?P(1A)P(B1|A?) ?P|A)2(A)P(B2?3 3P(A)P(B|A)161251549??????． 2882882881616． 设袋中有n个黑球，m个白球，现从袋中依次随机取球，每次取一个球，观察颜色后放回，并加入1个同色球和2个异色球． 求第二次取到黑色球且第三次取到白色球的概率．

解 设Ai={第i次取到白色球}，i=1,2,3，则所求概率为 P(A2A3)?P(A1)P(A2A3|A1)?P(A1)P(A2A3|A1)

?

mn?2m?3nn?1m?4?????． n?mn?m?3n?m?6n?mn?m?3n?m?6习 题 1.4

1． 已知P(A)?0.4, P(B)=0.3，且A、B相互独立，试求：P(A|B), P(A?B),

P(AB), P(AB), P(A?B)．

?解 P(A|B)P(AB)P(A)P(B)??P(A)?0.， 4P(B)P(B)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.58，

P(AB)?P(A)P(B)?(1?0.4)?0.3?0.18， P(AB)?P(A)P(B)?(1?0.4)?(1?0.3)?0.42，

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?(1?0.4)?0.3?0.18?0.72．

2． 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8，求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率．

解 设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，则P(A)?0.7,P(B)?0.8． （1）P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.8?0.56；

（2）P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.38； （3）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.94． 3． 甲、乙二人约定，将一枚匀称的硬币掷三次，若至少出现两次正面，则甲胜；否则乙胜．求甲胜的概率．

解 至少出现两次正面包含两种情况：恰有两次出现正面、三次都是正

113面．恰有两次出现正面的概率为C32()2??；三次都是正面的概率为

2281313C3()?．

28311故甲胜的概率为 ??．

8825． 甲、乙二人进行棋类比赛，假设没有和棋，每盘甲胜的概率为p，乙

胜的概率为1-p． 每盘胜者得1分，输者得0分． 比赛独立地进行到有一人首先超过对方2分时结束． 求甲首先超过对方2分的概率．

解 设C?{甲首先超过对方2分},每盘比赛若甲胜记为A, 若乙胜记为B, 根据题意，比赛共进行偶数盘，若甲首先超过对方2分时，则有 共赛两盘: AA；

共赛四盘: ABAA?BAAA；

共赛六盘: ABABAA?BAABAA?ABBAAA?BABAAA； 共赛八盘: ABABABAA?BAABABAA?ABBAABAA?ABABBAAA ?BABAABAA?BAABBAAA?ABBABAAA?BABABAAA； ??

即 P(C)?p2?2p3(1?p)?22p4(1?p)2?23p5(1?p)3?24p6(1?p)4?? ?p2[1?2p(1?p)?22p2(1?p)2?23p3(1?p)3?24p4(1?p)4??]

p2 ?p?[2p(1?p)]?．

1?2p(1?p)k?02?k6． 一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯工作都是相互独立，且红、黄、绿信号显示时间的比例为2:1:2，求此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率．

解 汽车经过三个有信号灯的路口，可以看作是3重伯努利试验．此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率为

312C3()?()2?0.432． 557． 甲、乙、丙三人同时独立的向一飞机射击，他们击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7． 设若只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2，若恰有两人击中，飞机坠毁的概率为0.5，若三人均击中，飞机坠毁的概率为0.8． 求飞机坠毁的概率．

解 设Ai={飞机被i个人击中}，i=1,2,3， B={飞机坠毁}，由独立性有

P(A1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36， P(A2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41， P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14．

P(B|A1)?0.2,P(B|A2)?0.5,P(B|A3)?0.8， 故 P(B)??PA(iP)B(Ai|?)i?130.?36?0.?20.?41?0.5?0.1．4 0.80.3898． 某厂生产的仪器，经检验可直接出厂的占0.7，需调试的占0.3，调试后可出厂的占0.8，调试后仍不能出厂的占0.2． 现新生产n(n≥2)台仪器（设每台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）恰有两台不能出厂的概率；（3）至少两台不能出厂的概率．

解 设A={1台仪器可直接出厂}， B={1台仪器最终能出厂}，则

A?B,B?A?BA，

p?P(B)?P(A)?P(BA)?P(A)?P(A)P(B|A)?0.7?0.3?0.8?0.94． （1）P{仪器全部能出厂}?pn?0.94n；

n?2n?2n?2（2）P{恰有两台不能出厂}?Cnp(1?p)2?Cn0.94n?20.062；

（2）P{至少两台不能出厂}

11?1?[pn?Cn(1?p)pn?1]?1?0.94n?Cn0.06?0.94n?1．

9． 5个元件工作独立，每个元件正常工作的概率为p，求以下系统正常工作的概率．

（1）串联；（2）并联；（3）桥式连接（如图1．4．1）．

解 设C为系统正常工作，利用独立性有

（1） 当元件串联时，需5个元件都正常工作，系统才能正常工作：

55P(C)?C5p?p5；

（2）当元件并联时，5个元件至少有一个正常工作，系统才能正常工作：

P(C)?1?(1?p)5；

（3）记中间的元件为A5，左面两个元件分别为A1,A3，右面两个元件为

A2,A4。当A5正常工作时，相当于A1,A3并联，与A2,A4并联电路再串联而得；当A5失效时，相当于A1,A2串联，与A3,A4串联电路进行并联而得．则

P(C)?P(A5)P(C|A5)?P(A5)P(C|A5)．

P(C|A5)?P[(A1?A3)?(A2?A4)]?[1?(1?p)2]2； P(C|A5)?P[(A1A2)?(A3A4)]?1?(1?p2)2；

故 P(C)?P(5A)P(C5|A?)222 (pP|A)?[?12(1p?)?]?115(A)P(C5?)