18．6个人各带一把铁锹参加植树，休息时铁锹放在一起，休息后每人任取一把铁锹继续劳动，求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率．

解 设Ai={第i个人拿到自己的铁锹 }，B={至少有一人拿对自己带来的铁锹 }，则

P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2A3A4A5A6)?P(A1?A2?A?A4?A5?A6)

?1?1111191??????0.632． 2!3!4!5!6!14419．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时，求一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待的概率．

解 设x,y分别为甲，乙两船到达码头的时间，设A={一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待}．故样本空间??{(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}， A发生的等价条件为“x≤y≤x?1”或“y≤x≤y?2”， 令 D?{(x,y)(≤x≤y，?x?1)≤(y≤x?y2),x(?y,?) }则样本空间的面积 S??24?24?5， 7611且区域D的面积 SD?242??232??222?69.5，

22则 P(A)?SD?0.12．0 7 S?20．平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l(l?d)的针，求针与平行线相交的概率．

解 以x表示从针的中点到最近一条平行线的距离，针与其所夹角为?，则

?d?样本空间???(x,?)0≤x≤,0≤?≤??，事件A={针与平行线相交}发生的等

2??

ll价条件“x≤sin?”，令D?{(x,?)x≤sin?,(x,?)??}，

22则样本空间为边长分别为?及且区域D的面积 SD???0d?d的矩形，面积为 S??， 22lsin??d?l， 2则 P(A)?

SD2l． ?S??d习 题 1.3

1．某种动物的寿命在20年以上的概率为0.8，在25年以上的概率为0.4． 现有一该种动物的寿命已超过20年，求它能活到25年以上的概率．

B={该种动物的寿命超过20年}，解 设A={该种动物能活到25年以上}，

即A?B．已知 P(A)?0.4, P(B)?0.8．

?所求概率为 P(A|B)P(AB)P(A)??0．.5 P(B)P(B)2． 在100件产品中有5件是次品，从中不放回地抽取3次，每次抽1件． 求第三次才取得次品的概率．

解 设Ai={第i次取到合格品}，B ={第三次才取到次品}，由乘法公式有

P(B)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?95945???0.0460． 10099983．有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的．其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，三厂产品中合格品率分别为95%、90%、85%，现从这批产品中随机抽取一件，求该产品为合格品的概率．

解 设A1={甲厂的产品}，A2={乙厂的产品}，A3={丙厂的产品}，B={取到一件合格品}．即A1,A2,A3构成一个完备事件组．

则 P(B)?P(1A)P(B1|A?)5 ?0.5?0.9?P|A)2(A)P(B2?3 3P(A)P(B|A)0?.3?0.9?0.2?0.．85

4． 一袋中有黄球10个，红球6个． 若不放回取球两次，每次取一球． 求下列事件的概率：（1）两次都取到黄球；（2）第二次才取到黄球；（3）第二次取到黄球．

解 设A1={第一次取到黄球}，A2={第二次取到黄球}，则

1093??； 161586101（2）P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)???；

16154（1）P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?（3）P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?1096105????． 1615161585． 一城市位于甲、乙两河的交汇处，若有一条河流泛滥，该市就会受灾，已知在某季节内，甲、乙两河泛滥的概率均为0.01，且当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5．求在此季节内该市受灾的概率．

解 设A={甲河泛滥 }，B ={乙河泛滥 }，由题意有

P(A)?0.01,P(B)?0.01,P(B|A)?0.5，

)?P(A)P(B|?A)则 P(AB0.0 ．

在此季节内该市受灾的概率为

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.01?0.01?0.005?0.015．

6． 在下列条件下，求：P(A|B), P(B|A), P(AB), P(AB)． （1）已知P(A)?0.4, P(B)?0.3, P(AB)?0.18 ； （2）已知P(A)?0.4, P(B)?0.3，且A，B互不相容．

解 （1）P(A|B)?P(AB)0.18P(AB)0.18??0.6，P(B|A)???0.45， P(B)0.3P(A)0.4

P(AB)?P(B)?P(AB)?0.3?0.18?0.12，

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]

?1?(0.4?0.3?0.18)?0.48．

（2）由于A，B互不相容，故P(AB)?0，所以

P(A|B)?P(AB)P(AB)?0，P(B|A)??0， P(B)P(A)P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)?0.3，

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)]?1?(0.4?0.3)?0.3．7． 某体育比赛采用五局三胜制，甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是0.6（假定没有和局），求甲方最后取胜的概率．

解 比赛采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需要比赛三局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需要胜二局，例如，比赛三局，甲胜：甲甲甲；比赛四局，甲胜：甲乙甲甲，乙甲甲甲，甲甲乙甲；再由独立性，甲最终获胜的概率为

2323P(甲胜)=p3?C3p(1?p)?C4p(1?p)2

22?0.63?C30.63(1?0.6)?C40.63(1?0.6)2?0.6826．

8． 设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（1）取出的零件有一个为一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率．

解 设Ai={第i箱被挑中}，i=1,2，P(A1)?P(A2)?的是一等品}，j=1,2．

（1）取出的零件有一个为一等品的概率为

1；设Bj={第j次取出2