?1 1?． 所以Y?g(X)的概率分布为 ???0.5 0.5????8． 设X服从[a,b]上的均匀分布，证明?X??服从[a???,b???]上的均 匀分布．

?1,a≤x≤b;?证明 X的密度函数为fX(x)??b?a

?其它.?0,y??x??的反函数为x?h(y)?y???，h?(y)?1?．

由教材中定理2.6.1，Y??X??的密度函数

?y??1y??f()?,a≤≤b;?X fY(y)??????0,其它.?对??0，有

?1,a???≤y≤b???;? fY(y)???(b?a)?0,其它.?对??0，有

1?,b???≤y≤a???;? fY(y)????(b?a)?0,其它.?于是当??0时，Y??X??在区间Y?[a???,b???]上服从均匀分布，

当??0时，Y??X??在区间Y?[b???,a???]上服从均匀分布．

?f(x)?0, 0≤x≤?；10． 已知随机变量X的密度函数为fX(x)??

?0, 其它.求Y?sinX的密度函数fY(y)．

解 由题设知X在[0,?]上取值，故Y?sinX在[0,1]上取值，故 当y?0或y?1时，fY(y)?0． 当0≤y≤1时，Y的分布函数为

FY(y)?P(Y≤y)?P(0≤Y≤y)

?P(0≤sinX≤y)?P{(0≤X≤arcsiny)?(??arcsiny≤X≤??? ?P(0≤X≤arcsiny)?P(??arcsiny≤X≤??

??arcsiny0f(x)dx?????arcsinyf(x)dx

故当0≤y≤1时，

fY(y)?FY?(y)?所以

11?y2f(arcsiny)?11?y2f(??arcsiny)．

?1?f(arcsiny)?f(??arcsiny)??, 0≤y≤1;?2? fY(y)??1?y? 0, 其它.?