概率论第二版第1、2章习题解答 下载本文

习 题2.6

2. 已知随机变量?的分布列为?0   1   3    7???1   ?,

0.05  0.2  0.13  0.25??0.37  (1)求?=2-?的分布列; (2)求?=3+?2分布列.

解 (1)?=2-?的可能取值为?5,?1,1,2,3,而且

P(???5)?P(??7)?0.25,P(???1)?P(??3)?0.13, P(??1)?P(??1)?0.2,P(??2)?P(??0)?0.05, P(??3)?P(???1)?0.37.

即?=2-?的分布列为

1  2   3???5  ?1   ??.

0.13  0.2  0.05  0.37??0.25  (2)?=3+?2的可能取值为3,4,12,52,而且

P(??3)?P(??0)?0.05,

P(??4)?P(3??2?4)?P(??1)?P(???1)?0.37?0.2?0.57,

P(??12)?P(??3)?0.13,P(??52)?P(??7)?0.25.

即?=3+?2的分布列为

4  12     52?? 3   ??.

0.57  0.13  0.25 ?0.05  ?3. 已知X服从参数为1的指数分布,求Y?aX?b(a?0)密度函数和分布函数.

?e?x, x≥0;解 X的密度函数为fX(x)??

?0, x?0.当y?b(即x?0)时,fX(x)?0,从而FY(y)?0; 当y≥b(即x≥0)时,

y?by?bFY(y)?P(Y≤y)?P(aX?b≤y)?P(X≤)??afX(x)dx

0ay?ba0?x?y?ba??edx?1?e.

故Y?aX?b(a?0)的分布函数为

y?b??a, y≥b;? FY(y)??1?e?? 0, y?b.Y的密度函数为

?b?1?ya, y≥b;?e f(y)?FY?(y)??a? 0, y?b.??1,  1?x?4;4. 已知随机变量X的密度函数为f(x)??,  ?2xln2? 其它.? 0,  且Y?2?X,求Y的密度函数.

解 当1?x?4时,Y?2?X的取值范围是?2?y?1.于是

当y≤?2或y≥1(即x≥4或x≤1)时,fX(x)?0,从而f(y)?0; 当?2?y?1(即1?x?4)时,

FY(y)?P(Y≤y)?P(2?X≤y)?P(X≥2?y)?1?P(X?2?y)

?1??2?y1fX(x)dx,

则 f(y)?FY?y(?)fX故Y的密度函数为

1,(?2?y?1). (?2y?)2(2?y)ln21?, ?2?y?1;? f(y)??2(2?y)ln2? 0, 其它.??e?x, x≥0;5. 设随机变量 X~fX(x)??, 求Y?eX的密度函数fY(y).

?0, x?0.解 当x≥0时,Y?eX的取值范围是y≥1.于是 当y?1(即x?0)时,fX(x)?0,从而f(y)?0; 当y≥1(即x≥0)时,

FY(y)?P(Y≤y)?P(e≤y)?P(X≤lny)??则 f(y)?FY?(y)?Xlny0fX(x)dx,

111fX(lny)?e?lny?2,(y≥1) yyy故Y?eX的密度函数为

?1?,f(y)??y2?0,?y≥1;y?0.

6.设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布,求Y?e2X的密度函数f(y).

?1,1≤x≤2;解 X的密度函数为fX(x)??

?0,其它.当1≤x≤2时,y?e2x的取值范围是e2≤y≤e4. 当y≤0时,FY(y)?0;

1当y?0时, FY(y)?P(Y≤y)?P(e2X≤y)?p(X≤lny)

2?0,y?e2;?0,y?e2;?1??2lny?1???dx,e2≤y?e4;??lny?1,e2≤y?e4;

1??244y≥e.?1,?1,y≥e.???0,y?e2;??1于是Y的分布函数为 FY(y)??lny?1,e2≤y?e4;

?24?1,y≥e.?上式求导得Y?e2X的密度函数f(y)

?1?,f(y)?FY?(y)??2y?0,?e2?y?e4;其它.

7. 已知随机变量X的密度函数为f(x)?2,(???x???),求随x?x?(e?e)? 1, x≥0;机变量函数Y?g(X)的概率分布,其中g(x)??

?1, x?0.?解 由题设知Y的可能取值为?1,1. X的密度函数f(x)???2是???x???上的偶函数,且由密度函数

?(ex?e?x)??22dx??0?(ex?e?x)dx?0.5. ???(ex?e?x)0的性质???f(x)dx?1,可知?P(Y??1)?P{g(X)??1}?P(X?0)??P(Y?1)?P{g(X)?1}?P(X≥0)????2dx?0.5,

???(ex?e?x)002dx?0.5,

?(ex?e?x)