32333xy?(9x2?6x3)，V'(x)?273(x?x2)，令，正六棱柱的体积V(x)?6?4223V'(x)?273(x?x2)?0，解得0?x?1，令V'(x)?273(x?x2)?0得1?x?，即函数V(x)在

23(0,1)是增函数，在(1,)是减函数，所以V(x)在x?1时取得最大值，此时y?3.易知正六棱柱的外接球

2y13的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为OE?x2?()2?,所以外接球的表

222面积为S?4?R?13?.

?77?2,?15?试题分析：由题意S2n?1?(2n?1)an?an15.??,则an?2n?1, ?3?nn?1???1?n?8???1??n?8(n?8)(2n?1)≤?当n为偶数时由不等式得,即?≤, 0?x?an?1n2n?1nn

y?(n?8)(2n?1)8?2n??15是增函数,当n?2时取得最小值?15,所以???15;

nn当n为奇数时,??≤8(n?8)(2n?1)8?2n??17,函数y?2n??17, nnn777777?77?,即???,所以???,综上,?的取值范围是??,?15?. 333?3?当n?3时取得最小值为

考点：数列的通项公式,数列与不等式恒成立的综合问题. 16.答案①②④⑤

试题分析：不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，

uuuruuuruuur(1)则B（1，0），E（-1，1），故AB=（1，0），AE==（-1，1），AP??AB??AE=????,??，

uuuruuuruuur?1?由图像可知??0,??0，故①正确；(2)当点P为AD中点时，AP??0,?，?AB??AE=????,??，

?2?所以?0,?=????,??，解得????1?2?11,??，则????1，故②正确； 22(3)当λ=1，μ=1时，AP=（1，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2， 当λ=

故满足λ+μ=2的点不唯一，故③错误；

(4)当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，

当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3， 当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3， 当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2， 综上可得0≤λ+μ≤3，故④正确，

311,μ=时，AP=（1，），此时点P为BC的中点，满足λ+μ=2， 222uuuruuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuur2(5)AP?AE=?AB?AE??AE=?|AB|?|AE|??|AE|=???2?,

当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤-λ≤1，故有-1≤???2?≤0，

当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，0≤2μ≤2,所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1 故-2≤-λ+2μ≤1，

当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1，故-1≤???2?≤0， 当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，-1≤-λ≤0，故0≤-λ+2μ≤1， 综上可得-2≤-λ+2μ≤1，故⑤正确，

考点：向量加减的几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 17.解析：（1）由cosBsinC??a?sinB?cos?A?B??0，可得cosBsinC??a?sinB?cosC?0，即

sinA?acosC，又c?1，所以csinA?acosC， 由正弦定理得sinCsinA?sinAcosC，

因为0?A??，所以sinA?0，从而sinC?cosC，即C??422222（2）由余弦定理a?b?2abcosC?c，得a?b?2ab?1，

?a2?b22?2??a?b2?1，于是a2?b2?2?2， 又ab?，所以1??22???322当A?B??时，a?b取到最大值2?2.

8.

??18．（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为芯片乙为合格品的概率约为

，

． …（3分）

（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.

；；

所以，随机变量X的分布列为： X 90 45 30 ﹣15 P …（8分） （ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件． 依题意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得

．所以 n=4，或n=5． ； ．

设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A， 则

19. 方法一（综合法）:（1）证明：因为PD?PC?． …（12分）

2，CD?AB?2，所以?PCD为等腰直角三角形，

所以PD?PC．（1分因为ABCD?A1B1C1D1是一个长方体，

所以BC?面CC1D1D，而P?平面CC1D1D，所以PD?面CC1D1D，所以BC?PD．（3分） 因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，

由线面垂直的判定定理，可得PD?平面PBC． （4分） （2）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE（5分） 因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，

所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．（6分）因为PE=1，AE=10， 所tan∠PAE=PE?1?10．（7分）所以PA与平面ABCD所成角的正切值为10（8

AE101010分）

（3）当a=2时，PC∥平面AB1D．（9分） 当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形， 所以∠C1DC=45°，而∠PDC=45°， 所以∠PDC1=90°，所以C1D?PD．

而PC?PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC//C1D．（10分）而C1D?面AB1C1D，所以

PC//面AB1C1D，所以PC//平面AB1D． （12分）

方法二：（向量法）（1）如图建立空间直角坐标系，

uuur设棱长AA1?a，则有D(0,0,a)，P(0,1,a?1)，B(3,2,a)，C(0,2,a)．（2分）于是PD?(0,?1,?1)，

uuuruuuruuuruuur所以PD?PB?0，PD?PC?0．（3分）

所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD?平面PBC． （4分）

uuuruuurPB?(3,1,?1)PC?(0,1,?1)，

uuurA(3,0,a)，所以PA?(3,?1,?1)，

uur而平面ABCD的一个法向量为n1?(0,0,1)． （5分）

（2）

所以cos?PD,n1??所以PA与平面所以PA与平面

uuuruur?111??． （6分）

1111?1ABCD所成的角的正弦值为11． （7分） ABCD所成的角的正切值为

1110．（8分）

10uuuruuur（3）∵D(0,0,a)，B1(3,2,0)，A(3,0,a)，∴DA?(3,0,0)，AB1?(0,2,?a)．

设平面

??AB1?n2?2y?az?0rn2?(0,a,2)． （10分） 若要使得PC//平面AB1D，则要PC即PCgn2?DA?n2?3x?0rAB1D的法向量为n2?(x,y,z)，则有??，令z?2，可得平面AB1D的一个法向量为

uuur?a?2?0，解得a?2．

所以当a?2时，PC//平面AB1D． （12分）

20. 解：（1）由题圆R的半径为22,因为直线OP,OQ互相垂直，且与圆R相切，所以OR?uuurrr?n2，

2r?4，

x02y02??1,② 即x0?y0?16,① 又R(x0,y0)在椭圆C上，所以

241222由①②及R在第一象限，解得x0?y0?22,所以圆R的方程为：x?22（2）证明：因为直线OP:y?k1x,OQ:y?k2x均与圆R相切，所以

????y?22?22?8

k1x0?y01?k122?22,化简得(x02?8)k12?2x0y0k1?y02?8?0,

22同理有(x0?8)k2?2x0y0k2?y0?8?0,

所以k1,k2是方程(x0?8)k?2x0y0k?y0?8?0的两个不相等的实数根，

222y02?8x02y02. 又因为R(x0,y0)在椭圆C上，所以??1, 所以k1k2?22412x0?814?x0211222??,即2k1k2?1?0. 即y0?12?x0,所以k1k2?2x?8220m2x2?2x?m?21.解析：（1）∵f?(x)?2x?又函数f(x)在定义域上是单调函数. x?1x?1∴ f?(x)?0或f?(x)?0在(?1,??)上恒成立

若f?(x)?0在(?1,??)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调地增函数，则

111m??2x2?2x??2(x?)2?在(?1,??)上恒成立，由此可得m?；

222m?0在(?1,??)上恒成立.即若f?(x)?0在(?1,??)上恒成立，则f?(x)?2x?x?111m??2x2?2x??2(x?)2?在(?1,??)上恒成立.

221在(?1,??)上没有最小值 2∴不存在实数m使f?(x)?0在(?1,??)上恒成立.

1综上所述，实数m的取值范围是[,??).

22（2）当m??1时，函数f(x)?x?ln(x?1).

∵?2(x?)2?令g(x)?f(x)?x??x?x?ln(x?1)

3321213x3?(x?1)2??则g?(x)??3x?2x? x?1x?1显然，当x?(0,??)时，g?(x)?0，所以函数g(x)在(0,??)上单调递减

2又g(0)?0，所以，当x?(0,??)时，恒有g(x)?g(0)?0，即f(x)?x?0恒成立.

3故当x?(0,??)时，有f(x)?x

3（3）法1：证明：由（2）知x?x?ln(x?1),x?(0,??)

23即x(1?x)?ln(x?1),

2令x?n，n?N?,即有n(1?n)?ln(n?1),

2所以e(1?n)?n2?n?1（n?N?）

2因此e0?e?1?4?e?2?9?L?e(1?n)?n?2?3?4?5?L?(n?1)?故对任意的正整数n，不等式e?e0?1?4?e?2?9?L?e(1?n)n2法2：数学归纳法

证明：1、当n?1时，左边=e?1，右边=

0n(n?3) 2n(n?3)成立． ?22、设当n?k时，原不等式成立， 即e?e0?1?41?4?2，原不等式成立. 2?e?2?9???e(1?k)?k2?则当n?k?1时， 左边=e?e0?1?4k(k?3) 2222k(k?3)?e?k?(k?1) 2?e?2?9???e(1?k)?k?e(1?k?1)?(k?1)?只需证明即证e22k(k?3)(k?1)?(k?4) ?e?k?(k?1)?22?k?(k?1)2?k?2，即证?k?(k?1)2?ln(k?2)

3由（2）知x?x?ln(x?1),x?(0,??)

2即x(1?x)?ln(x?1),

令x?k?1，即有?k?(k?1)?ln(k?2)

2所以当n?k?1时成立

由1、2知，原不等式成立

22. 解析：(Ⅰ). 连接OC，过O作OE⊥AC（E为垂足）， 易知∠OAC=∠OCA=∠CAD（AC为∠BAD的平分线） ?OC∥AD，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD?AD⊥CD

(Ⅱ).∵AC⊥BC，AB=6，∠CAB=2∠DAB=6=30，∴BC=3，AC=3√3，由(Ⅰ)知AD⊥CD，∠DAC=30，∴CD=2AC=

°

1

3√321

π

°

2

274，又CD=DF?DA，∴DF?DA=，

9√3?3√3= 221113√3√31

S四边形ABCD=CD?AD+AC?BC=??(?3√3)+?3√3?3

22222227√336√363√3=+=

88823. 解析：(Ⅰ). 取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的x轴，取其单位长度，于是

AF=cos30?AC=

°

ρ=x2+y2 2x=ρcosθ 代入圆C：??4?sin??4?cos??6?0得：

y=ρsinθ {

x2?y2?4x?4y?6?0?(x?2)2?(y?2)2?2，圆C的圆心坐标为(2，2)，

2

??x?2?2cos?(?为参变数）半径为r=√2,取旋转角?为参数,则圆C的参数方程为C:?

??y?2?2sin?(Ⅱ).Qu?x?y?(2?2cos?)(2?2sin?)?4?22(sin??cos?)?2sin?cos?

2??2sin?cos??t?1设t?sin??cos??2sin(??)??

4???2?t?2?∴u=f(t)=x?y=2√2t+t?1+4=t+2√2t+3=(t+√2)+1(?√2≤t≤√2)

∴1≤u≤9，∴u＝xy的值域为u∈[1，9]

222224. 【答案】解:(Ⅰ)由题14?(x?y?z)(1?4?9)?(x?2y?3z),

22

2

但由柯西不等式，(x?y?z)(1?4?9)?(x?2y?3z),

2222?14x??14??214yz?当且仅当x?2y?3z?14且x??，即?y?时取等，故取等条件必须成立，此时

1423??314z??14??314 73131（2）因为?A,且?A,所以?2?a,且?2?a

222213*解得?a?,又因为a?N,所以a?1

22因为|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?3

当且仅当(x?1)(x?2)?0,即?1?x?2时取得等号,所以f(x)的最小值为3

x?y?z?