习题八
8-1 质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??2?3)(SI)的规律
作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
A?0.1m,??8?,?T?2???14s,?0?2?/3
又 vm??A?0.8?m?s?1 ?2.51m?s?1
am??A?63.2m?s?2
2(2) Fm?am?0.63N
E?Ep12mvm?3.16?10122?2J
?2?Ek?E?1.58?10J
当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即
12kx2?122?(12kA) 220m
2∴ x??2A?? (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
8-2 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是： (1)x0??A；
(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A2处向负向运动；
A2?x0?Acos?0?v0???Asin?0(4)过x??处向正向运动．
试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ?
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
2??1??x?Acos(t??)
?2?32?x?Acos(T2?Tt?32?)
?3??4??35?4x?Acos(x?Acos(2?T2?Tt?t??354)
?)
8-3 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：
(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．
解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s ∴ ??又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为
x?24?10?22?T?0.5??1rad?s
cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?x??10?10?32?(?2)?0.17??4.2?102?3
N方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，
t?t时 x0??A2,且v?0,故?t??3
/∴ t????323 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
11222E?kA?m?A221?3?22??10?10()?(0.24) 22?7.1?10J8-4 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量
?4????2s
为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度
v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．
m1gx1?1.0?10?3解：由题知k??9.8?24.9?10?0.2N?m?1
而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正) 又 ??km?0.28?10?3?5,即T?2???1.26s
?A?x0?(2v0?)2??tan?0??v0x0??(1.0?102?105.0?10?2?2)?(25.0?1055?4?22)
?2m?1,即?0??2?2
1.0?10?5∴ x?2?10cos(5t?54?)m
8-5 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．
题8-5图
解：由题8-5图(a)，∵t?0时，x0?0,v0?0,??0?即 ??2?T??rad?s?1
32?,又,A?10cm,T?2s
故 xa?0.1cos(?t?由题8-5图(b)∵t?0时，x0?A2,v0?0,??0?325?3?)m
t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2???2
53又 ?1???1?∴ ??56??52?
?
56故 xb?0.1cos(?t?5?3)m
8-6 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的
?位相差为，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动
6的位相差．
题8-6图
解：由题意可做出旋转矢量图如下．
由图知
A2?A1?A?2A1Acos30??(0.173)?(0.2)?2?0.173?0.2??0.01222223/2
∴ A2?0.1m 设角AA1O为?，则
A2222?A1?A2?2A1A2cos?
即
?2cos??A1?A2?A2A1A222?(0.173)?(0.1)?(0.02)2?0.173?0.1222
?0即??，这说明，A1与A2间夹角为
?2?，即二振动的位相差为.
28-7 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅： ????x?5cos(3t?)cmx?5cos(3t?)cm?1?133(1) ? (2)? 7?4??x2?5cos(3t??x2?5cos(3t?)cm)cm33??7??解： (1)∵ ????2??1???2?,
33∴合振幅 A?A1?A2?10cm (2)∵ ???4?3??3??,
∴合振幅 A?0
8-8 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
???x1?0.4cos(2t?6)m ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
?5解：∵ ????(??)??
66∴ A合?A1?A2?0.1m
A1sin?1?A2sin?2A2cos?1?A2cos?20.4?sin?0.4cos?6?0.3sin?0.3cos5?65?6?33tan???6
∴ ??其振动方程为
?6
x?0.1cos(2t??6)m
(作图法略)