2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

?a?2b?3c?0，ab?bc?ca1．设非零实数a，b，c满足?则2的值为（ ）． 222a?3b?4c?0，a?b?c?1（A）?

2【答案】A

（B）0 （C）

1 2（D）1

【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0，故(a?b?c)2?0．于是

1ab?bc?ca122ab?bc?ca??(a2?b?c)，所以??． 2222a?b?c22．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以

11，为两个实根的是（ ）． 22x1x2（B）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 （D）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

bc，x1x2?，且x1x2?0，aa（A）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 （C）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 【答案】B

【解答】由于ax2?bx?c?0是关于x的一元二次方程，则a?0．因为x1?x2??2?2x1x2b2?211(x1?x2)ac11a2所以c?0，且 2?2?，2?2?2， ?222x1x2x1x2cx1x2cb2?2aca2112x??0，即于是根据方程根与系数的关系，以2，2为两个实根的一元二次方程是x?c2cx1x2c2x2?(b2?2ac)x?a2?0．

3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）． ．．．

（A）OD （C）DE

（B）OE （D）AC

（第3题）

AB，垂足为D，段OD，OE，DE，

【答案】D

【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OAAD?BD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． 2DC·DOOD2由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE?，DE?都

OCOC

（第3题答题）

＝OB＝OC＝

是有理数，而AC

AB不一定是有理数． ＝AD·4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F线上，且BC?4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面

（A）3 （C）6

（B）4 （D）8

（第4题）

在线段BC的延长积为（ ）．

【答案】C

【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．

连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．

因为BC?4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：

x?y?3x3y?3x2y2?xy3?45?x?1???y?1?33?60，

（第4题答题）

且x?y?z??x?y??z，则2013?2012???3?2的值为（ ）．

（A）

54636071821 （B） （C）

967967967【答案】C

【解答】设2013?2012???4?m，则

（D）

16389 9673m3?3?3m2?9?m?27?45?9， ?2013?2012???4??3?m?3?32m?3m?3m?1?64?603?93?2?3?92?22?9?23?455463?于是?2013?2012???3??2?9?2?．

103?33?60967

二、填空题

6．设a?3，b是a2的小数部分，则(b?2)3的值为 ． 【答案】9

【解答】由于1?a?2?a2?3，故b?a2?2?9?2，因此(b?2)3?(39)3?9． 7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形是 ．

204 13【解答】如图，连接AF，则有：

33BD与CE交于点AEFD

的面积

【答案】

S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???，

S?AFDS?AFDFDS?CDF3S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????，

S?AEFS?AEFFES?BEF410896，S?AFD?． 1313204所以，四边形AEFD的面积是．

13

（第7题）

解得S?AEF?

（第7题答题）

8．已知正整数a，b，c满足a?b2?2c?2?0，3a2?8b?c?0，则abc的最大值为 ． 【答案】2013

【解答】由已知a?b2?2c?2?0，3a2?8b?c?0消去c，并整理得

?b?8?2?6a2?a?66．由a为正整数及6a2?a≤66，可得1≤a≤3．

若a?1，则?b?8??59，无正整数解； 若a?2，则?b?8??40，无正整数解；

若a?3，则?b?8??9，于是可解得b?11，b?5． （i）若b?11，则c?61，从而可得abc?3?11?61?2013； （ii）若b?5，则c?13，从而可得abc?3?5?13?195． 综上知abc的最大值为2013．

9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2?cx?d?0的两根为a，b，一元二次方程x2?ax?b?0的两根为c，d，则所有满足条件的数组(a，，，bcd)为 ．

【答案】(1，?2，，1?2)，(t，，0?t，0)（t为任意实数）

?a?b??c，??ab?d，【解答】由韦达定理得?

c?d??a，???cd?b．222由上式，可知b??a?c?d． db若b?d?0，则a??1，c??1，进而b?d??a?c??2．

bdbcd)?(t，，0?t，0)（t为任意实数）若b?d?0，则c??a，有(a，，，． ?2，，1?2)与(t，，0?t，0)（t为任意实数）满足条件． 经检验，数组(1，10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．

【答案】207

?4x?7y?2013，【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则?

x?y?350，?2013?7yy?1?(503?2y)?， 44y?1于是是整数．又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y，

4所以x?所以y?204，故y的最小值为207，此时x?141．

三、解答题

11．如图，抛物线y?ax2?bx?3，顶点为E，该抛物线与x轴

1与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线y??x?1与y轴交于

3求∠DBC?∠CBE．

1【解答】将x?0分别代入y??x?1，y?ax2?bx?3知，

3交于A，B两点，点D．

（第11题）

D(0，1)，C(0，

?3)，

1所以B(3，0)，A(?1，0)．直线y??x?1过点B．

3将点C(0，?3)的坐标代入y?a(x?1)(x?3)，得a?1．

…………5分

抛物线y?x2?2x?3的顶点为E(1，?4)．于是由勾股定理得

BC＝32，CE＝2，BE＝25．

（第11题答题） ?BCE?90?．因为BC＋CE＝BE，所以，△BCE为直角三角形，

…………10分

OD1CE1?，则∠DBO＝?CBE． 因此tan?CBE==．又tan∠DBO=

OB3CB32

2

2

…………15分

所以，?DBC??CBE??DBC??DBO??OBC?45?．

…………20分

O共圆，对于所有的△ABC，求?BAC所有可能12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，的度数．

【解答】分三种情况讨论． （i）若△ABC为锐角三角形．

因为?BHC?180???A，?BOC?2?A，

所以由?BHC??BOC，可得180???A?2?A，于是?A?60?．

…………5分

（ii）若△ABC为钝角三角形． （第12题答题（ii）） （第12题答题（i））

?A?90?当时，因为

?BHC?180???A，?BOC?2?180???A?，

所以由?BHC??BOC?180?，可得3?180???A??180?，于是?A?120?。

…………10分

当?A?90?时，不妨假设?B?90?，因为?BHC??A，?BOC?2?A，

所以由?BHC??BOC?180?，可得3?A?180?，于是?A?60?．

…………15分

（iii）若△ABC为直角三角形．

当?A?90?时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆， 所以?A不可能等于90?；

当?A?90?时，不妨假设?B?90?，此时点B与H重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此?A可以是满足0???A?90?的所有角．

综上可得，?A所有可能取到的度数为所有锐角及120?．

…………20分

13．设a，b，c是素数，记x?b?c?a，y?c?a?b，z?a?b?c，当z2?y,否构成三角形的三边长？证明你的结论．

【解答】不能．

111依题意，得a?(y?z)，b?(x?z)，c?(x?y)．

22211z(z?1)因为y?z2，所以a?(y?z)?(z2?z)?．

222又由于z为整数，a为素数，所以z?2或?3，a?3．

…………10分

当z?2时，y?z2?4，x?(y?2)2?16．进而，b?9，c?10，与b，c是素数矛盾；

…………15分

当z??3时，a?b?c?0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．

…………20分

14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．

【解答】若n≤6，取m?1，2，?，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，…，an中的一个正整数M是i，j(1≤i＜j≤7)的公共的魔术数，即7|(10M?i)，7|(10M?j)．则有7|(j?i)，但0＜j?i≤6，矛盾．

故n≥7．

…………10分

又当a1，a2，…，an为1，2，?，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为正整数）．则10ki?m（i?1，，2?，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，j(1≤i＜j≤7)，满足7|[(10kj?m)?(10ki?m)]，即7|10k(j?i)，从而7|(j?i)，矛盾．

故必存在一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10ki?m)，即i为m的魔术数． 所以，n的最小值为7．

…………20分

x?y?2时，a，b，c能