所以f(x)?|1?a|=f(x)?1?a?②当a?1时，

131x?ax?1?x3?x?1. ……………10分 3311f(x)?|1?a|=f(x)?a?1?x3?ax?2a?1?x3?a(2?x)?1

33因为x?(0,2)， 所以a(2?x)?(2?x). 所以f(x)?|1?a|?设g(x)?1311x?a(2?x)?1?x3?(2?x)?1?x3?x?1.. 11分 33313x?x?1. 32因为g'(x)?x?1?(x?1)(x?1)， 所以当g'(x)?0时，x??1或x?1，

当g'(x)?0时，?1?x?1. …………….12分 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增. ……………13分 所以gmin(x)?g(1)?1?0. 3所以当x?(0,2)时，f(x)??|1?a|. …………….14分

4.（2020东城二模）已知f(x)?e?sinx?ax(a?R).

x0)上单调递减； （Ⅰ）当a??2时，求证：f(x)在(??，（Ⅱ）若对任意x?0，f(x)?1恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若f(x)有最小值，请直接给出实数a的取值范围. 答案

（Ⅰ）解：f'(x)?e?cosx?a,

对于a??2，

当x?0时，e?1,cosx?1， 所以f'(x)?e?cosx?2?0. 所

以

xxxf(x)在

???,0?上单调递

减. ………………………………4分 （Ⅱ）解：当x?0时，f(x)?1?1，对于a?R，命题成立，

当x?0时，设g(x)?e?cosx?a， 则g'(x)?e?sinx. 因为e?1,xxxsinx?1，

x所以g'(x)?e?sinx?1?1=0，g(x)在?0,???上单调递增. 又g(0)?2?a， 所以g(x)?2?a.

所以f'(x)在?0,???上单调递增，且f'(x)?2?a. ① 当a??2时，f'(x)?0， 所以f(x)在?0,???上单调递增. 因为f(0)?1， 所以f(x)?1恒成立.

② 当a??2时，f'(0)?2?a?0， 因为f'(x)在[0,??)上单调递增，

又当x?ln(2?a)时，f'(x)??a?2?cosx?a?2?cosx?0， 所以存在x0?(0,??)，对于x?(0,x0)，f'(x)?0恒成立. 所以f(x)在?0,x0?上单调递减，

所以当x?(0,x0)时，f(x)?f(0)?1，不合题意.

综上，当a??2时，对于x?0，f(x)?1恒成立. ………………………………13分

（Ⅲ）解：a?0.………………………………15分

5.（2020海淀二模）已知函数f(x)?ex(sinx?cosx).

（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；

?（Ⅱ）求证：曲线y?f(x)在区间(0,)上有且只有一条斜率为2的切线.

2答案

xx解：（Ⅰ）f?(x)?e(sinx?cosx)+e(cosx?sinx)

?2excosx.

???x?2k??(k?Z). 22??所以f(x)的单调递增区间为(2k??,2k??)(k?Z).

22?（Ⅱ）证明：要证曲线y?f(x)在区间(0,)上有且只有一条斜率为2的切线，

2?即证方程f'(x)?2在区间(0,)上有且只有一个解.

2令f?(x)?0,得2k??令f?(x)?2excosx?2，得excosx?1.

x设g(x)?ecosx?1，

xxx则g?(x)?ecosx?esinx??2esin(x?).

?4??当x?(0,)时，令g?(x)?0，得x?.

24当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表：

x ?(0,) 4? ? 4??(,) 42g'(x) g(x) 0 极大值 ? ] Z ???所以g(x)在(0,)上单调增，在(,)上单调减.

442?因为g(0)?0,所以当x?(0,]时，g(x)?0；

4???又g()??1?0，所以当x?(,)时，g(x)有且只有一个零点.

242?x所以当x?(0,)时，g(x)?ecosx?1有且只有一个零点.

2?即方程f?(x)?2，x?(0,)有且只有一个解.

2?所以曲线y?f(x)在区间(0,)上有且只有一条斜率为2的切线.

2

6.（2020西城二模）设函数 f(x)?axlnx ,其中a?R. 曲线y?f(x)在点( 1, f ( 1) )处的切线经过点( 3, 2) . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)证明: f(x)?答案

解：（Ⅰ）由f(x)?axlnx，得f?(x)?alnx?a， ……………… 2分 则f(1)?0，f?(1)?a.

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线为y?a(x?1). ……………… 4分 将点(3,2)代入切线方程，得a?1. ……………… 5分 （Ⅱ）由题意，得f(x)?xlnx，f?(x)?lnx?1. 令f?(x)?0，得x?x2? xee1. ……………… 7分 e

随着x变化，f?(x)与f(x)的变化情况如下表所示：

x1(0,)e1e1(,+?)e

f?(x)?0 极小值 ?f(x)↘ ↗ 11 所以函数f(x)在(0,)上单调递减，在(,+?)上单调递增. ……………… 9分

ee11 所以函数f(x)存在极小值，且极小值为f()??；函数f(x)不存在极大值.

ee……………… 10分

（Ⅲ）“f(x)?x2x2xlnx???0”. ……………… 11分 ?”等价于“

exeexe11由（Ⅱ），得f(x)?xlnx≥-（当且仅当x?时等号成立）. ①

eex21x所以xlnx?x?≥?x.

eeee