（Ⅲ）当a??12时，由（Ⅱ）知f(x)??12x2?1?ax2?1，满足题意.

令h(x)?f(x)?ax?1?2x?1ex?ax2?1，

h'(x)??12xex?2ax??x(1ex?2a).

12a当??a?0时，若x?(0，ln(?1))，h'(x)?0，

ln(?则h(x)在[0，)]上是减函数.

2a1ln(?))时，h(x)?h(0)?0，不合题意. 所以x?(0，2a当a?0时h'(x)?0，则h(x)在(0,+?)上是减函数， 所以h(x)?h(0)?0，不合题意. 综

上

所

述

，

实

数

a的取值范围

1(??,?]. ………15分

2

2．（2020密云二模）已知函数f(x)?x?alnx,a?R． （Ⅰ）当a?1时，求曲线f(x)在x?1处的切线方程； （Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?1?a，试判断函数h(x)是否存在最小值，若存在，求出最小x值，若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）当x?0时，写出xlnx与x2?x的大小关系．

答案 解：（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?x?lnx,x?0，

1,x?0，因此k?f'(1)?0． x又因为f(1)?1，所以切点为(1,1)．

所以f'(x)?1?所以切线方程为y?1．

（Ⅱ）解：h(x)?x?alnx?1?a，x?0，a?R． xa1?a(x?1)(x?a?1)，x?0． 所以h'(x)?1??2=xxx2因为x?0，所以x?1?0．

（1）当a?1≤0，即a≤-1时

因为x?0，所以x?(a?1)?0，故h'(x)?0． 此时函数h(x)在(0,??)上单调递增．

所以函数h(x)不存在最小值． （2）当a?1>0，即a>-1时

令h'(x)?0，因为x?0，所以x?a?1．

h(x)与h'(x)在(0,??)上的变化情况如下：

x (0,a?1) ? ↘ a?1 0 极小值 (a?1,??) + ↗ h'(x) h(x) 所以当x?a?1时，h(x)有极小值，也是最小值，

并且h(x)min?h(a?1)?a?2?aln(a?1)． 综上所述，

当a≤-1时，函数h(x)不存在最小值；

当a??1时，函数h(x)有最小值a?2?aln(a?1)．

（Ⅲ）解：当x?0时，xlnx≤x2?x．

3.（2020昌平二模）已知函数f(x)?13x?ax?a,a?R. 3（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(0，1)处的切线方程； （II）求函数y?f(x)的单调区间；

（III）当x?(0,2)时，比较f(x)与?|1?a|的大小. 答案

解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?213x?x?1. 3 因为f'(x)?x?1， …………….1分

所以f'(0)??1. …………….2分 所以曲线y?f(x)在点(0，1)处的切线方程为x?y?1?0. …………….4分 （II）定义域为R.

因为f'(x)?x?a,a?R. ①当a?0时，f'(x)?0恒成立.

2 所以函数y?f(x)在(-?,+?)上单调递增. …………….5分 ②当a?0时，f'(x)?0恒成立.

所以函数y?f(x)在(-?,+?)上单调递增. …………….6分 ③当a?0时，令f'(x)?0，则x??a或x?所以当f'(x)?0时，x??a或x? 当f'(x)?0时，?a?x?a. …………….7分

a；

a. …………….8分

（a，??)上单调递增， 所以函数y?f(x)在(??,?a)和

在(?a,a)上单调递减. …………….9分 综上可知，当a?0时，函数y?f(x)在(-?,+?)上单调递增；

（a，??)上单调递增， 当a?0时，函数y?f(x)在(??,?a)和

在(?a,a)上单调递减.

（III）法一：由（Ⅱ）可知，

（1）当a?0时，函数y?f(x)在(-?,+?)上单调递增； 所以当x?(0,2)时，fmin(x)?f(0)?a. 因为?|1?a|=?(1?a)?a?1，

所以f(x)??|1?a|. …………….10分

（a，??)上单调递增， （2）当a?0时，函数y?f(x)在(??,?a)和

在(?a,a)上单调递减.

①当0?a?1，即0?a?1时，?|1?a|?0.

所以当x?(0,2)时，

（a，2)上单调递增， 函数y?f(x)在(0,a)上单调递减，

fmin(x)?f(a)

1?(a)3?aa+a 32 ?a(?a+1)?0

3 所以f(x)??|1?a|. …………….11分 ②当1?a?2，即1?a?4时，?|1?a|=1?a?0.

由上可知f2min(x)?f(a)?a(?3a?1)， 因为a(?23a?1)?(1?a)?2a?2aa3?1， 设g(x)?2x?2xx3?1,(1?x?4). 因为g'(x)?2?x?0，

所以g(x)在(1,4)上单调递增. 所以g(x)?g(1)?13?0. 所以a(?22a3a?1)?(1?a)?2a?a3?1?0 所以f(x)??|1?a|. ③当a?2，即a?4时，?|1?a|=1?a?0. 因为函数y?f(x)在(0,a)上单调递减， 所以当x?(0,2)时，f8min(x)?f(2)?3?a?1?a. 所以f(x)??|1?a|.

综上可知，当x?(0,2)时，f(x)??|1?a|. III）法二：

因为f(x)?(?|1?a|)?f(x)?|1?a|，

①当a?1时，

因为x?(0,2)， 所以?ax??x.

…………….13分 …………….14分

（