类比推理问题—高考命题新亮点

类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。

（一）不同知识点之间的类比

数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。 1、立体几何中的类比推理

【例1】若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N 2，则三角形面积之比为：

若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分

别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为： 。

【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想

（证明略）

评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空

间三棱锥体积比的相应结论。

【例2】在

中有余弦定理：

拓展到空间，类

的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间

比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的关系式，并予以证明。

【分析】根据类比猜想得出

与

所成的二面角的平面角。

其中为侧面为

证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，

·1·

在

即

中有余弦定理：，同乘以

，得

评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的

重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。

【例3】 在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立体几何中有什么结论呢？

解析 “正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。

图1

如图1，设边长为的正三角形内任一点到其三边的距离分别为、、，将

分割成三个小三角形，则有，即距离之和

·2·

为正三形的高（定值） 图2

类似地，如图2,设棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离分别为、、、

， 将正四面体分割成以为顶点，以四个面为底面的小三棱锥，则有，于是

所以为定值

【例4】 在平面几何中，有勾股定理：设的两边、互相垂直，则

。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间

的关系，可得出的正确结论是：“设三棱锥直，则

答案为

的三个侧面

、

、

两两互相垂

类比不仅可以提供探求新背景下结论的思路，而且也为寻求结论的证明提供方法上的指导。将平面图形中的三角形与立体图形中的多面体进行类比，使不同数学分支之间的知识得到了巧妙的沟通，也使解题过程得到美化，让人有意犹未尽却又顺理成章的感觉。 2、解析几何中的类比推理

【例5】已知两个圆：

①

与

②，则由①式减去②式可得上述两

圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 。

·3·

【分析】将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况： 设圆的方程为

③与

④，其中

或

，

则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程。

评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

3、数列中的类比推理

【例6】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列和为5，那么

的值为 ，这个数列的前n项和

，是等和数列，且

，公

的计算公式为 。

故

【分析】由等和数列的定义，易知

当n为偶数时，；当n为奇数时，

评注 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。 4、函数中的类比推理

【例7】设函数

，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

的值 。

【分析】此题得用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算

∵

∴

·4·