29．（2020?顺德区模拟）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、

F分别为垂足，

（1）求证：AP＝EF． （2）若∠BAP＝60°，PD＝

，求EF的长．

30．（2020?河南模拟）（1）【发现证明】

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：

EF＝DF+BE．

小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．

（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．

②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 （不要求证明）

（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3

，求AF的长．

参考答案

一．选择题

1．解：∵sinD＝， 设EC＝4x，CD＝5x， 由勾股定理可得：ED＝∵菱形ABCD， ∴AD＝CD， 即AE+ED＝CD， 可得：2+3x＝5x， 解得：x＝1， ∴AD＝DC＝5， ∴EC＝4，

由勾股定理可得：AC＝故选：D．

2．解：∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝CE，

∵?ABCD的周长为20cm， ∴AD+DC＝10cm，

∴△CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm， 故选：D．

3．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，OD＝OB，AC⊥BD， ∵A（0，﹣1）， ∴OA＝1， 在Rt△AOD中，

∵∠AOD＝90°，∠DAC＝60°， ∴∠ADO＝30°，

，

，

∴OD＝∴OB＝∴B（

OA＝

，

，AD＝2OA＝2，

，0），

∵点P的运动速度为0.5单位长度/秒， ∴从点A到点B所需时间＝

＝4（秒），

∴沿A→B→C→D→A所需的时间＝4×4＝16（秒）， ∵

＝126…4，

∴移动到第2020秒和第4秒的位置相同，当P运动到第4秒时点P在点B处，即点P的坐标为（故选：B．

4．解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠A＝∠EDQ＝90°， ∵E为AD中点， ∴AE＝ED， 在△APE和△DQE中，

，

，0），

∴△APE≌△DQE（ASA），故①正确； ②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，如图1所示： ∴∠PGQ＝∠EMF＝90°， ∵EF⊥PQ， ∴∠PEF＝90°， ∴∠PEM+∠MEF＝90°， ∵∠GPE+∠MEP＝90°， ∴∠GPE＝∠MEF， 在△EFM和△PQG中，∴△EFM≌△PQG（ASA）， ∴EF＝PQ，故②正确；

，

③连接QF，如图2所示： 则QF＝PF，PB2+BF2＝QC2+CF2， 设CF＝x，则（2+x）2+12＝32+x2， ∴x＝1，故③错误； ④如图3所示：

当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处， 当P运动到B时，QC的中点H与D重合， 故EH扫过的面积为△ESD的面积为，故④错误； 故选：B．