第3讲 二项式定理

1．二项式定理 (1)定理：

n1n1b＋…＋Ckankbk＋…＋Cnbn(n∈N*)． (a＋b)n＝C0na＋Cnann

－

－

(2)通项：

nkk

第k＋1项为Tk＋1＝Ckb． na

－

(3)二项式系数：

二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn(k＝0，1，2，…，n)． 2．二项式系数的性质

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

nrr(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Crb.( ) na

－

(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．( )

nrr(4)通项Tr＋1＝Crb中的a和b不能互换．( ) na

－

(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [教材衍化]

1．(选修2-3P31例2(1)改编)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．

kkkk222解析：Tk＋1＝Ck5(2x)＝C52x，当k＝2时，x的系数为C5·2＝40.

答案：40

1

x＋?展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数2．(选修2-3P31例2(2)改编)若??x?项为________．

n

解析：二项式系数之和2＝64，所以＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C36＝20.

答案：20

n

6－k

n＝6，Tk＋1＝Ck·6·x

?1?＝Ck6－2k

，当6－2k6x?x?

k

3．(选修2-3P41B组T5改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．

解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.

答案：8 [易错纠偏]

(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误； (2)配凑不当致误．

2

x2－?的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的1．在二项式?x??和为________．

解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－1

2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________． 解析：因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)r210r·Cr10(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C810＝180.

答案：180

二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：

(1)求展开式中的某一项；

(2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求n的值或参数的值． 角度一 求展开式中的某一项

(2019·高考浙江卷)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有

理数的项的个数是________．

9kk

【解析】 该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ckx，当k＝0时，第1项为常数9(2)

－

－

n

项，所以常数项为(2)＝162；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，

9

所以系数为有理数的项的个数为5.

【答案】 162 5

角度二 求展开式中的项的系数或二项式系数

1

1＋2?(1＋x)6展开式中x2的系数为( ) ??x?

A．15 C．30

B．20 D．35

?1?r62【解析】 (1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cr6x，所以1＋2(1＋x)的展开式中x的系数?x?

4为1×C26＋1×C6＝30，故选C.

【答案】 C

角度三 由已知条件求n的值或参数的值

(2020·浙江新高考联盟联考)若二项式(ax－

常数项为B，若A＝4B，则a＝________．

6r(【解析】 Tr＋1＝(－1)rCr6(ax)

－

16

)(a>0)的展开式中x3的系数为A，x

1r) x

3－

＝(－1)ra6rCr6x6－r. 2

34令6－r＝3得r＝2，则 A＝a4C26＝15a； 232令6－r＝0得r＝4，则B＝(－1)4a2C46＝15a， 2又由A＝4B得15a4＝4×15a2，则a＝2. 【答案】 2

与二项展开式有关问题的解题策略

(1)求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．

(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．

1?1．若?x6＋的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于( )

xx??

n

A．3 C．5

r

B．4 D．6

6n－rC.Tr＋1＝Crn(x)

解析：选

?1?＝Crx6n－15r，当T＋是常数项时，6n－15r＝0，即n

nr1

22?xx?

5

＝r，又n∈N*，故n的最小值为5，故选C. 4

x1

2．(2020·金华十校期末调研)在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则

2xn＝________；展开式中常数项是________．

x1?

解析：在??2－x?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8. 所以

Tr＋1＝Cr8

n

?x?

?2?

8－r

?－1?＝?1??x??2?

4

r8－r

8(－1)rCr8x

－2r

.

由8－2r＝0，得r＝4.

1?354C4＝所以展开式中常数项是?(－1). 8

?2?8答案：8

35

8

二项式系数的性质或各项系数和

1

x2－?的展开式中，系数最大的项为第________项． (1)在二项式?x??

(2)(2020·宁波十校联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0

＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

r22

【解析】 (1)依题意可知Tr＋1＝Cr11(－1)x

－3r

11

，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大的是

5与C6.当r＝6时，T＝C6x4，故系数最大的项是第七项． C1111711

(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.

【答案】 (1)七 (2)1或－3

(变条件)本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.

答案：－1或－5

赋值法的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数