复变函数测验题
第一章 复数与复变函数
一、
选择题
1．当z?1?i1007550时，z?z?z的值等于（ ） 1?i（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（ ） 6（A）?1?3i （B）?3．复数z?tan??i(3?i （C）?1331?i （D）??i 2222?????)的三角表示式是（ ） 2?[cos(??)?isin(??)] （B）sec?[cos(（A）sec22??3?3???)?isin(??)] 22?[cos(（C）?sec3?3?????)?isin(??)]（D）?sec?[cos(??)?isin(??)] 2222224．若z为非零复数，则z?z与2zz的关系是（ ）
2222（A）z?z?2zz （B）z?z?2zz
22（C）z?z?2zz （D）不能比较大小
５．设x,y为实数，z1?x?11?yi,z2?x?11?yi且有z1?z2?12，则动点(x,y)的轨迹是（ ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转
?，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为31?3i，则原向量对应的复数是（ ）
（A）2 （B）1?3i （C）3?i （D）3?i
1
复变函数测验题
７．使得z?z成立的复数z是（ ）
（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数 ８．设z为复数，则方程z?z?2?i的解是（ ）
22（A）?3333?i （B）?i （C）?i （D）??i 4444９．满足不等式
z?i?2的所有点z构成的集合是（ ） z?i（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域 （D）无界闭区域 10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（ ）
（A）中心为2?3i，半径为2的圆周 （B）中心为?2?3i，半径为２的圆周 （C）中心为?2?3i，半径为2的圆周 （D）中心为2?3i，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A）
z?1?2 （B）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （D）zz?az?az?aa?c?0(c?0)
1?az（C）
12．设f(z)?1?z,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2)?（ ） （A）?4?4i （B）4?4i （C）4?4i （D）?4?4i 13．limIm(z)?Im(z0)（ ）
x?x0z?z0（A）等于i （B）等于?i （C）等于0 （D）不存在
14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（ ） （A）u(x,y)在(x0,y0)处连续 （B）v(x,y)在(x0,y0)处连续
（C）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（D）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续
2
复变函数测验题
z2?z?115．设z?C且z?1，则函数f(z)?的最小值为（ ）
z（A）?3 （B）?2 （C）?1 （D）1
二、填空题
1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?
3．设z?5,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线 的内部
6７．方程
2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为
2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线
９．对于映射??
2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z
410．lim(1?z?2z)?
z?1?i
三、若复数z满足zz?(1?2i)z?(1?2i)z?3?0，试求z?2的取值范围．
3
复变函数测验题
四、设a?0，在复数集C中解方程z2?2z?a.
五、设复数z??i，试证
六、对于映射??
七、试证１.
z是实数的充要条件为z?1或IM(z)?0. 21?z11(z?)，求出圆周z?4的像. 2zz1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.
z1?z2???zn?z1?z2???zn.
八、若limf(z)?A?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01A. 2
九、设z?x?iy，试证
十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性：
x?y2?z?x?y.
?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2
?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2
?0,z?0?
4
复变函数测验题
第二章 解析函数
一、选择题：
1．函数f(z)?3z2在点z?0处是( )
（A）解析的 （B）可导的
（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )
（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1
（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导
（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )
（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi （C）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x) （D）x3?iy3
5．函数f(z)?z2Im(z)在
处的导数( )
（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在
6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2
7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )
（A）0 （B）1 （C）?1 （D）任意常数 8．设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是
5
复变函数测验题
（A）若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （B）若Re(f(z))在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （C）若f(z)与f(z)在D内解析，则f(z)在D内是一常数 （D）若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )
（A）2 （B）2i （C）1?i （D）2?2i 10．i的主值为( )
（A）0 （B）1 （C）e （D）e11．e在复平面上( )
（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析 （C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析 12．设f(z)?sinz，则下列命题中，不正确的是( )
（A）f(z)在复平面上处处解析 （B）f(z)以2?为周期
zi?2??2
eiz?e?iz（C）f(z)? （D）f(z)是无界的
213．设?为任意实数，则1( )
（A）无定义 （B）等于1
（C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )
（A）(1?i) （B）cosi （C）lni （D）e15．设?是复数，则( )
??（A）z在复平面上处处解析 （B）z的模为z?33?i2??
（C）z一般是多值函数 （D）z的辐角为z的辐角的?倍
6
??复变函数测验题
二、填空题
1．设f(0)?1,f?(0)?1?i，则limz?0f(z)?1? z2．设f(z)?u?iv在区域D内是解析的，如果u?v是实常数，那么f(z)在D内是 3．导函数f?(z)??u?v?i在区域D内解析的充要条件为 ?x?x33?i)? 224．设f(z)?x3?y3?ix2y2，则f?(?5．若解析函数f(z)?u?iv的实部u?x2?y2，那么f(z)? 6．函数f(z)?zIm(z)?Re(z)仅在点z? 处可导
7．设f(z)?i15z?(1?i)z，则方程f?(z)?0的所有根为 58．复数i的模为 3?4i)}? 9．Im{ln(10．方程1?e 三、设
?z?0的全部解为
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为
z?x?iy的解析函数，若记
w(z,z)?u(?wz?zz?zz?zz?z?0． ,)?iv(,)，则
22i22i?z
四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数 1．f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy;
2．f(z)?e(xcosy?ysiny)?ie(ycosy?ixsiny);
7
xx复变函数测验题
dwd2w五、设w?2zw?e?0，求. ,dzdz23z
?xy2(x?iy)?,z?0六、设f(z)??x2?y4试证f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.
?0,z?0?
七、已知u?v?x2?y2，试确定解析函数f(z)?u?iv.
八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转
?????即得n.如果f(z)?u?iv为解析函数，2则有
???u?v?u?v???,??（与分别表示沿s,n的方向导数）. ?s?n?n?s?s?n九、若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数f(z)在下半平面内解析.
十、解方程sinz?icosz?4i.
8
复变函数测验题
第三章 复变函数的积分
一、选择题：
1．设c为从原点沿y2?x至1?i的弧段，则(x?iy)dz?( )
c?2（A）
15151515?i （B）??i （C）??i （D）?i 666666662．设c为不经过点1与?1的正向简单闭曲线，则
zdz为( ) ?2c(z?1)(z?1)（A）
?i?i （B）? （C）0 （D）(A)(B)(C)都有可能 22sinzdz? ( ) ?2zc?c1?c23．设c1:z?1为负向，c2:z?3正向，则
（A） ?2?i （B）0 （C）2?i （D）4?i 4．设c为正向圆周z?2，则
coszdz? ( ) ?2(1?z)c1z?2dz? ( )
(1?z)2（A）?sin1 （B）sin1 （C）?2?isin1 （D）2?isin1
5．设c为正向圆周z?1，则?2cz3cos（A）2?i(3cos1?sin1) （B）0 （C）6?icos1 （D）?2?isin1
e?d?，其中z?4，则f?(?i）?( ) 6．设f(z)????z??4（A）?2?i （B）?1 （C）2?i （D）1
7．设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分
f??(z)?2f?(z)?f(z)dz ( ) ?cf(z)（A）于2?i （B）等于?2?i （C）等于0 （D）不能确定
9
复变函数测验题
8．设c是从0到1??2i的直线段，则积分?zezdz?（ ）
c（A）1??e2 (B) ?1??e2 (C)1??e2i (D) 1??e2i
sin(z)229．设c为正向圆周x?y?2x?0，则?24dz? ( )
z?1c（A）
?22?i （B）2?i （C）0 （D）??i 2210．设c为正向圆周z?i?1,a?i，则
zcoszdz?( ) ?2c(a?i)（A）2?ie （B）
2?i （C）0 （D）icosi e11．设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果
f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0,f(z0)( )
（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A）积分
1dz的值与半径r(r?0)的大小无关 ?z?az?a?r（B）
22(x?iy)dz?2,其中c为连接?i到i的线段 ?c（C）若在区域D内有f?(z)?g(z)，则在D内g?(z)存在且解析 （D）若f(z)在0?z?1内解析，且沿任何圆周c:z?r(0?r?1)的积分等于零，则
f(z)在z?0处解析
10
复变函数测验题
13．设c为任意实常数，那么由调和函数u?x2?y2确定的解析函数f(z)?u?iv是 ( )
(A)iz?c （B） iz?ic （C）z?c （D）z?ic 14．下列命题中，正确的是( )
（A）设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1?v2 （B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C）若f(z)?u?iv在区域D内解析，则
2222?u为D内的调和函数 ?x（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数
15．设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是( )
（A）v(x,y)?iu(x,y) （B）v(x,y)?iu(x,y)
（C）u(x,y)?iv(x,y) （D）
二、填空题
?u?v?i ?x?x1．设c为沿原点z?0到点z?1?i的直线段，则2zdz? c?z2?3z?22．设c为正向圆周z?4?1，则?dz? c(z?4)2sin(?)2d?,其中z?2，则f?(3)? 3．设f(z)????2??z4．设c为正向圆周z?3，则
??cz?zdz? zez5．设c为负向圆周z?4，则?dz? 5c(z??i)
11
复变函数测验题
6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线c都有么f(z)在B内
8．调和函数?(x,y)?xy的共轭调和函数为 9．若函数u(x,y)?x3?axy2为某一解析函数的虚部，则常数a? 10．设u(x,y)的共轭调和函数为v(x,y)，那么v(x,y)的共轭调和函数为
三、计算积分 1.
?f(z)dz?0，那
c6zdz,其中R?0,R?1且R?2; ?2(z?1)(z?2)z?Rdz． ?42z?2z?2z?22.
四、设f(z)在单连通域B内解析，且满足1?f(z)?1(x?B).试证 １．在B内处处有f(z)?0；
２．对于B内任意一条闭曲线c，都有
?cf??(z)dz?0 f(z)五、设f(z)在圆域z?a?R内解析，若maxf(z)?M(r)z?a?r(0?r?R)，
则f
(n)(a)?n!M(r)(n?1,2,?).
rn 12
复变函数测验题
?ezdz，从而证明?ecos?cos(sin六、求积分??)d???.
0zz?1
七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限
f(z)dz并由此推证f(a)?f(b)（刘维尔Liouville定理）.
R????(z?a)(z?b)z?Rlim
八、设f(z)在z?R(R?1)内解析，且f(0)?1,f?(0)?2，试计算积分
z?1?(z?1)2f(z)dzz2并由此得出
?2?0cos2?2f(ei?)d?之值.
九、设f(z)?u?iv是z的解析函数，证明
?2ln(1?f(z))?x2
2??2ln(1?f(z))?y22?4f?(z)222(1?f(z)).
22十、若u?u(x?y)，试求解析函数f(z)?u?iv.
13
复变函数测验题
第四章 级 数
一、选择题：
(?1)n?ni(n?1,2,?)，则liman( ) 1．设an?n??n?4（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在
2．下列级数中，条件收敛的级数为( )
?1?3in(3?4i)n（A）?( ) （B）?2n!n?1n?1??in(?1)n?i（C） ? （D）?
nn?1n?1n?1?3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )
?1i(?1)ni（B） ?(1?) （B）?[?n]
nn2n?1nn?1??in(?1)nin(C)? （D）? nlnn2n?2n?1??4．若幂级数
?cn?0nzn在z?1?2i处收敛，那么该级数在z?2处的敛散性为( )
（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）不能确定 5．设幂级数
?cn?0?nz,?ncnznn?0?n?1和
cnn?1的收敛半径分别为R1,R2,R3，则z?n?0n?1?R1,R2,R3之间的关系是( )
（A）R1?R2?R3 （B）R1?R2?R3 （C）R1?R2?R3 （D）R1?R2?R3 6．设0?q?1，则幂级数
?qnzn的收敛半径R?( )
n?0?2 14
复变函数测验题
（A）q （B）
1 （C）0 （D）?? q7．幂级数
?n?1?sinn?2(z)n的收敛半径R?( ) n2（A） 1 （B）2 （C）2 （D）??
(?1)nn?18．幂级数?z在z?1内的和函数为
n?0n?1?1?z) （B）ln(1?z) （A）ln(（D）ln11 (D) ln 1?z1?z??eznn9．设函数的泰勒展开式为?cnz，那么幂级数?cnz的收敛半径R?( )
coszn?0n?0（A）?? （B）1 （C）
? （D）? 210．级数
112??1?z?z??的收敛域是( ) 2zz（A）z?1 （B）0?z?1 （C）1?z??? （D）不存在的
11．函数
1在z??1处的泰勒展开式为( ) 2z?n（A）
?(?1)n?1?n(z?1)n?1(z?1?1) （B）?(?1)n?1n(z?1)n?1n?1??(z?1?1)
（C）??n(z?1)n?1n?1(z?1?1) （D）?n(z?1)n?1n?1(z?1?1)
15
复变函数测验题
12．函数sinz，在z???2处的泰勒展开式为( )
(?1)n?（A）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!(?1)n?（B）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)
(z??2???)
(?1)n?1?（C）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!?(z??2???)
(?1)n?1?（D）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)
?13．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为
n????cn(z?z0)n，c为H内
绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么
f(z)?c(z?z0)2dz?( )
(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2 （D）2?if?(z0)
??3n?(?1)n,n?0,1,2,?n14．若cn??，则双边幂级数的收敛域为( ) cz?nn4,n??1,?2,?n????（A）
11?z? （B）3?z?4 4311?z??? （D）?z??? 43（C）
15．设函数f(z)?1在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么
z(z?1)(z?4)m?( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
16
复变函数测验题
二、填空题 1．若幂级数
?cn?0n?n(z?i)n在z?i处发散，那么该级数在z?2处的收敛性
为 ． 2．设幂级数
?cn?0?nz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间的关
n?0?系是 ． 3．幂级数
?(2i)n?0?nz2n?1的收敛半径R? 4．设f(z)在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当z?z0?d时，f(z)??cn?0?n(z?z0)n成立，其中cn? ．
5．函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数
?cn?0?nz的收敛半径为R，那么幂级数
n?(2n?0?n?1)cnzn的收敛半径
为 ．
?1znn7．双边幂级数?(?1)?(?1)(1?)的收敛域为 ． ?22(z?2)n?1n?1n1z?8．函数e?e在0?z???内洛朗展开式为 ． 9．设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为收敛域的外半径R? ． 10．函数
zn????c?nzn，那么该洛朗级数
1在1?z?i???内的洛朗展开式为 ．
z(z?i) 17
复变函数测验题
?1nz?0三、若函数在处的泰勒展开式为，则称?an?为菲波那契(Fibonacci)数az?n21?z?zn?0列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式．
四、试证明 1．e?1?ezz?1?zez(z???);
(z?1);
z2．(3?e)z?e?1?(e?1)z
五、设函数f(z)在圆域z?R内解析，Sn??k?0nf(k)(0)kz试证 k!11．Sn(z)?2?i???r?n?1?zn?1d?f(?)??z?n?1f(?)d??n?1(??z)??r?(z?r?R).
zn?1?Sn(z)?2．f(z）2?i
(z?r?R)。
n2六、设幂级数?nz的和函数，并计算?n之值.
n?1n?12?2n?
18
复变函数测验题
七、设f(z)???an?0?nz(z?R),g(z)?bz(z?R2)，则对任意的r(0?r?R1)，在?n1nnn?0?z?rR2内?anbnzn?n?012?i??r?zd?。 f(?)g()??
八、设在z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z)?a0?a1z?a2z2???anzn??
1试证当0?r?R时
2?
九、将函数
?2?0f(re)d???anr2n.
i?n?02?2ln(2?z)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.
z(z?1)十、试证在0?z???内下列展开式成立：
z?1ze11?c0??cn(z?n)其中cn??zn?1n???0e2cos?cosn?d?(n?0,1,2,?).
19
复变函数测验题
第五章 留 数
一、选择题： 1．函数
cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )
2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z) 的( )
（A）可去奇点 （B）本性奇点
（C）m级极点 （D）小于m级的极点 3．设z?0为函数
1?e的m级极点，那么m?( ) 4zsinzx2（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin1的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点
3?2z?z35．z??是函数的( )
z2(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设f(z)??anzn在z?R内解析，k为正整数，那么Res[n?0?f(z),0]?( ) kz（A）ak （B）k!ak （C）ak?1 （D）(k?1)!ak?1 7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么Res[f?(z),a]?( ) f(z)(A)m （B）?m （C） m?1 （D）?(m?1) 8．在下列函数中，Res[f(z),0]?0的是（ ）
20
复变函数测验题
ez?1sinz1（A） f(z)? （B）f(z)??
zzz2（C）f(z)?sinz?cosz11? (D) f(z)?zze?1z9．下列命题中，正确的是( ) （A） 设f(z)?(z?z0)极点．
（B） 如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0 （C） 若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0 （D） 若
?m?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的m级
?f(z)dz?0，则f(z)在c内无奇点
c10． Res[zcos32i,?]? ( ) z（A）?2222 （B） （C）i （D）?i
333321z?i11．Res[ze（A）?,i]? ( )
1515?i （B）??i （C）?i （D）?i 666612．下列命题中，不正确的是( )
（A）若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点，则Res[f(z),z0]?0 （B）若P(z)与Q(z)在z0解析，z0为Q(z)的一级零点，则Res[（C）若
P(z0)P(z) ,z0]?Q(z)Q?(z0)z0为
f(z)的m级极点，n?m为自然数，则
1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]
n!x?x0dz
21
复变函数测验题
（D）如果无穷远点?为f(z)的一级极点，则z?0为f()的一级极点，并且
1z1Res[f(z),?]?limzf()
z?0z13．设n?1为正整数，则
1dz?( ) ?nz?2z?12?i （D）2n?i n(A)0 （B）2?i （C）
z914．积分?10dz?( )
z?13z?2（A）0 （B）2?i （C）10 （D）
?i 515．积分
12zsindz?( ) ?zz?1（A）0 （B）?
二、填空题
?i1 （C）? （D）??i
36331．设z?0为函数z?sinz的m级零点，那么m? ．
2．函数f(z)?1cos1z在其孤立奇点zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)处的留数
Res[f(z),zk]? ．
3．设函数f(z)?exp{z?21}，则Res[f(z),0]? 2z 22
复变函数测验题
4．设z?a为函数f(z)的m级极点，那么Res[f?(z),a]? ． f(z)5．双曲正切函数tanhz在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设f(z)?2z，则Res[f(z),?]? ． 1?z27．设f(z)?1?cosz，则Res[f(z),0]? ． z5edz? ．
1z8．积分
z?1?z39．积分
1dz? ． ?sinzz?1??xeixdx? ． 10．积分???1?x2
三、计算积分
z?zsinz?1(ez?1?z)2dz．
4
四、利用留数计算积分
五、利用留数计算积分
??0d?a2?sin2?(a?0)
?????x2?x?2dx
x4?10x2?9
六、利用留数计算下列积分： １．
???0??cos(x?1)xsinxcos2xdx ２．?dx
??x2?1x2?1 23
复变函数测验题
七、设a为f(z)的孤立奇点，m为正整数，试证a为f(z)的m级极点的充要条件是
lim(z?a)mf(z)?b，其中b?0为有限数．
z?a
八、设a为f(z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Res[f(z),a]?Res[f(z),?a]；若f(z)是偶函数，则Res[f(z),a]??Res[f(z),?a]．
九、设f(z)以a为简单极点，且在a处的留数为A，证明limz?af?(z)21?f(z)?1. A
十、若函数?(z)在z?1上解析，当z为实数时，?(z)取实数而且?(0)?0，f(x,y)表示
?(x?iy)的虚部，试证明?2?0tsin?f(cos?,sin?)d????(t) 21?2tcos??t(?1?t?1)
24
复变函数测验题
第一章 复数与复变函数
一、1．（B） 2．（A） 3．（D） 4．（C） ５．（B）
６．（A） ７．（D） ８．（B） ９．（D） 10．（C） 11．（B） 12．（C） 13．（D） 14．（C） 15．（A）
二、1．2 2．??arctan8 3．?1?2i 4．e16?i 5．33
x2y2??1） ７．x2?y2?1 ６．z?2?z?2?5（或 53()2()222()? ８．?1?2i,2?i ９．Rew1 10．?7?2i 2． 5?2）
三、[5?2,5?2]（或5?2?z?2?四、当0?a?1时解为?(1?1?a)i或?(1?a?1)
当1?a???时解为?(1?a?1).
17?u?cos??u2v22??1. 六、像的参数方程为?0???2?．表示w平面上的椭圆151715?v?sin?()2()22?22十、1．f(z)在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；
2．f(z)在复平面处处连续.
25
复变函数测验题
第二章 解析函数
一、1．（B） 2．（B） 3．（D） 4．（C） ５．（A） ６．（C） ７．（C） ８．（C） ９．（A） 10．（D） 11．（A） 12．（C） 13．（D） 14．（B） 15．（C）
二、填空题
?u?v?2u?2v?2u?2v,可微且满足2?1．1?i 2．常数 3．,??2 ?x?x?x?y?x?y?x?x4．
2727?i 5．x2?y2?2xyi?ic或z2?ic，c为实常数 6．i 48???2k??2k?7．82(cos4?isin4),k?0,1,2,3 8．e?2k?449．?arctan 10．2k?i(k?0,?1,?2,?)
43(k?0,?1,?2,?)
四、1．f?(z)??sinz; 2．f?(z)?(z?1)ez.
dw2w?ez?五、, 2dz3w?2z2dw?2dz七、f(z)??6w(dw2dw)?4?ez8w?6ezw?12w2?3ezw2?4ez?2ezzdzdz?. 2223w?2z(3w?2z)1?i2z?(1?i)c.c为任意实常数. 2十、z??2k??iln4(k?0,?1,?2,?).
26
复变函数测验题
第三章 复变函数的积分
一、1．（D） 2．（D） 3．（B） 4．（C） ５．（B）
６．（A） ７．（C） ８．（A） ９．（A） 10．（C） 11．（C） 12．（D） 13．（D） 14．（C） 15．（B） 二、1．2 2．10?i 3．0 4．6?i 5．
?i 6．平均值 127．解析 8．
12(y?x2)?C 9．?3 10．?u(x,y) 2三、1．当0?R?1时，0； 当1?R?2时，8?i； 当2?R???时，0.
2．0. 六、2?i. 七、0.
f(z)八、?(z?1)dz?8?i,2zz?12?2?0cos2?f(ei?)d??2?. 2十、f(z)?2c1lnz?c2?ic3（c1,c2,c3为任意实常数）.
27
复变函数测验题
第四章 级 数
一、1．（C） 2．（C） 3．（D） 4．（A） ５．（D） ６．（D） ７．（B） ８．（A） ９．（C） 10．（B）
11．（D） 12．（B） 13．（B） 14．（A） 15．（C）
二、1．发散 2． R2?R1 3．
2 2 4．
11(n)f(z0)(n?0,1,2,?)或（
2?in!?f(z)dz(n?0,1,2,?0?r?d)） ?n?1z?z0?r(z?z0)R(?1)n2n?15．?z(z?1) 6． 7．1?z?1?2
2n?02n?1??111n(?1)nin8．? ??z 9．? 10．?nn?2n!n!zn?0n?0n?0(z?i)?三、a0?a1?1,an?an?1?an?2(n?2)，
an?11?5n?11?5n?1)?()}(n?0,1,2,?). 225{(z(1?z)，6.
(1?z)3六、f(z)??nln(2?z)11(?1)k?1九、.???ln(2?z)??(?)(z?1)n
z(z?1)z?1zn?0k?0n?k?1
28
复变函数测验题
第五章 留 数
一、1．（D） 2．（B） 3．（C） 4．（D） ５．（B）
６．（C） ７．（A） ８．（D） ９．（C） 10．（A） 11．（B） 12．（D） 13．（A） 14．（B） 15．（C）
1．9 2．(?1)k二、(k???22) 6．?2 7．?124 三、?163?i. 四、
?aa2?1.
五、
512?. 六、１．?e?4(e3e4)
3．0 8．?i12 ?co1se.
29
4．?m9．2?i 5．1
10．?ie
２．