2

１、 面积为1.0m的两平行金属板，带有等量异号电荷±

３０μＣ，其间充满了介电常数ε＝２的均匀电介质。略去边缘效应，求介质内的电场强度Ｅ和介质表面上的极化电荷面密度。

介质中的极化强度为

P?(?r?1)?0E0?(?r?1)?0U?r(d?t)?t

??USE0E??1.7?106(V/m)

解：介质内的电场强度为 ?r?0 极板上的极化电荷面密度为 ???(???0r0（２）极板上的电荷量为 Q??S??(d?t)?t

r)E?1.5?10?5(C/m2)

４、平行板电容器（极板面积为Ｓ，间距为d）中间有两层厚

度各为d1和d2(d1+d2=d),介电常数各为ε质层。试求： （１） （２）

电容Ｃ；

１

和ε

２

的电介

?rU???0?r(d?t)?t（３）各区域的电场强度为 ?UE???r?0?r(d?t)?tE0?r0（４）电容为 C?U??(d?t)?t

rQ??S1０、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满介

当金属极板上带电面密度为±σ0时，两层介

质，介质的介电常数是变化的，在一极板处为ε1，在另一极板处为ε2，其他处的介电常数与到ε系。略去边缘效应，求：

（３） （４）

极板间电位差Ｕ；

（１）

两层介质中的电位移Ｄ。

（２）

当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内的极化电荷体密度和表面上的极化电荷面密度。

????2??0?1?21

质分界面上的极化电荷面密度σˊ； 处成线性关

电容器的电容；

?0S?0S???SQ??120解：（１）C??E0UE1d1?E2d2E0d1?2?d2?1d1?d2?1?2（２）?????????P?P1212?1 εε解：（1）介电常数的函数关系为

???2??1dx??1

?d??d2?1U?U1?U2?012（３） ?0?1?2 在导体内任一点 E?E0?

两极板之间的电位差 U??d0Edx??dQln2S?0??2??1??1

（４）

D?D1?D2??0

电容器的电容 C?Q?US?0??2??1?dln?2?1

(

７、如图所示，一平行板电容器两极板相距为d,面积为Ｓ，

电位差为Ｕ，其中放有一层厚为t的介质，介电常数为ε，介质两边都是空气，略去边缘效应，求： （１）

度Ｐ； （２） （３） （４）

极板上的电荷量Ｑ； 极板和介质间隙中的场强Ｅ； 电容。

介质中的电场强度Ｅ、电位移Ｄ和极化强

??????P??P?D??0E?２

?0?xQ??1??S???x)

极化强度为

??2极

???dQ化

电荷的体密度为

???2???x??1d???s2 极化电荷的面密度为

解：（１）由介质中的高斯定理得 Ｄ０＝Ｄ＝σ

???E0???0D??r?0E???E????r?0????1?1?Q??1????1S????Pn???1?Q???2??2???S2?d

ε t １２、一平行板电容器两极板相距为d，其间充满了两部分介

质，介电常数为ε1的介质所占面积为Ｓ１，介电常数为ε2的介质所占面积为Ｓ２。略去边缘效应，求电容Ｃ。 解：两个电容器并联而成

U?E0(d?t)?Et???????(d?t)?t???r(d?t)?t??0?r?0?r?0?r?0U?r(d?t)?tε1

ε２

C1??1C0?C2??2C0??1?0S1?dd电场强度不变，则球面上需要有面密度为

多少的电荷？

解： （１）由高斯定理可求得场强分布为

?2?0S2???0??1S1??2S2???C?C1?C2?d??１３、如图所示，一平行板电容器两极板的面积都是Ｓ，相距为d。今在其间平行地插入厚度为t，介电常数为ε的均匀介质，其面积为Ｓ／２。设两板分别带电荷Ｑ和-Ｑ。略去边缘效应，求：

（１） 两极板电位差Ｕ；

电位的分布为

E内?D??0?Qr(r?R)4???0r3

E外?D?0?Qr(r?R)4??0r3 t εd S/2 （２） 电容Ｃ；

（３）

介质的极化电荷面密度。

解：（１）设未插入介质一侧极板上电荷的面密度为σ１，另一侧为σ

２

U??1d??2?d?t???2t??

?0?0?0???2???d??1???t??U?dQ?S??2?d??

?1???S12??S22?Q?0?r?t??

（２）电容器的电容为

C?Q?S?2?d??1??r?t??U?0?2d??d??1??t?d

??? （３）极化电荷面密度为

???Pn????1??E02???1?dQ0??S??2?d??1???t?

?１６、在半径为Ｒ的金属球外有一层半径为Ｒˊ的均匀介质

层（如图所示）。设电介质的介电常数为ε，金属球带电量为Ｑ，求： （１） 介质层内外的场强分布； （２） 介质层内外的电位分布； ε （３）

金属球的电位。ＲＲ

解：（１）由对称性及高斯定理可求得场强分布为 E?0?r?R?E?Q4???R?r?R??

0?rr2E?Q4???r?R??0r2 （２）电位分布为

U?R???Q??1??1?

内?rE?dl??R?E?dl4???0?r?R????U?Q

外??rE?dl?4??0r （３）金属球的电位为U??R?RE?dl???Q?R?E?dl?4???1球?R???1???0?R?

?１８、半径为Ｒ、介电常数为ε的均匀介质球中心放有点电

荷Ｑ，球外是空气。

（１） 求球内外的电场强度Ｅ和电位Ｕ的分布；

（２）

如果要使球外的电场强度为零且球内的

UR?Q?内??rE内?dr??RE外?dr?4????1???1??(r?R)0?rR?EQ外???RE外?dr?4??r(r?R)0

（２）要使Ｅ外＝０而Ｅ内保持不变，应使球面上Ｑ′

＝－Ｑ

电荷的面密度应为

???Q4?R

１９、一半径为Ｒ的导体球带电荷Ｑ，球外有一层同心球壳

的均匀电介质，其内外半径分别为a和b，介电常数为ε。求： a Q （１）

介质内外的电场强度Ｅ和电位移Ｄ； b Ｒ （２） 介质内的极化强度Ｐ和表面上的极化电

荷面密度； （３）

介质内的极化电荷体密度为多少？

解： （１）由介质中的高斯定理可得

DQ外?D内?4?r3rED??Q外?4??3r(r?a,r?b)

00rEQ内?D???4???3r(a?r?b)00r（２）介质内的极化强度Ｐ为

P?D??0?E???1?Q4??r3

r 介质表面的极化电荷面密度为

?内??P????1?Qn?4??a2

??外?PQn????1?4??b2 （３）均匀电介质，介质内极化电荷体密度为０。

２０、球形电容器由半径为Ｒ１的导体球和与它同心的导体球

壳构成，壳的内半径为Ｒ２，其间有两层均匀介质，

分界面的半径为r，

介电常数分

r Ｒ ＲR Ｑ

别为ε

１

和ε

２

。 （１） 求电容Ｃ；

（２）

当内球带电－Ｑ时，求介质表面上的极化

电荷的面密度。

解： （１）由介质中的高斯定理可得

ED1???Q4??r(R1?r?r1)01?0r31?EDQ

2????4??r(r1?r?R2)202?0r3电

位

差为 U??1rQ??2R2(r?R1)??1R1(R2?r)?R1E1?dr??R2r1E2?dr?4??

0?1?2rR1R2电容为

C?Q4?0?1?r2R?R12U???2R(2?r?)1R?(?R?R 112)（２）当内球带电为－Ｑ时，各介质表面的极化电荷面密度分别为

??1?1?Q?Q??1??2?Q内??4??2

?外????2?110R14??2

?r?10R24??1?2r2

２２、球形电容器由半径为Ｒ１的导体球和与它同心的导体球

壳构成。壳的内半径为Ｒ２，其间一半充满介电常数为ε的均匀介质。求电容Ｃ。

解：将球形电容器看成是两个半球形电容器并联而成，其中

一个是空气，另一个是介质。

C?C?2??0R1R22??0?R1R21?C2

R?2?R1R2?R1

?2??0???1?R1R2R2?R1可以证明：

此时电容器的电容等于两壳间充满介电常数为

???02的均匀介质的电容。 下册

１、 一螺绕环横截面积的半径为a，中心线的半径为Ｒ，

Ｒ>>a，其上由表面互相绝缘的导线均匀地密绕两个线圈，一个Ｎ１匝，另一个Ｎ２匝，求两线圈的互感Ｍ。 解：设Ｎ１线圈中通有电流Ｉ１，在Ｎ２线圈中产生的磁链为

?N22a?0N1N2a221?N2B1S??0N12RI1?M??21I?

12R２、 一圆形线圈由50匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积为

Ｓ=4.0cm2

,放在另一个半径Ｒ=20cm的大圆形线圈中

心，两者共轴，如图所示。大圆形线圈由100匝表面绝缘的导线绕成。

（１）

求这两线圈的互感Ｍ；

（２）

当大线圈导线中的电流每秒减少50Ａ时，求小线圈中的感应电动势。 解：（１）设大线圈的电流为Ｉ，在中心产生的磁感强度Ｂ的

方向沿轴线，

大小为B??0NIdl?0NI2?R?04??R2?4?R2?NI2R

因小线圈的半径远小于大线圈半径，故在小线圈

的平面内，磁场可看作是近似均匀的。通过小

线圈的磁链为

Ｓ Ｒ ?0NI21?nBS?n?2RS

所求互感为

M??21?0I?nNS2R?6.3?10?6(H)

（２）小线圈中的感应电动势为

???MdIdt?3.1?10?4(V)

３、 如图所示，两长螺线管共轴，半径分别为Ｒ１和Ｒ２（Ｒ

１

>R２），长度为l(l<<Ｒ１和Ｒ２)，匝数分别为Ｎ１和Ｎ２。

求互感系数Ｍ１２和Ｍ２１，由此验证Ｍ１

２

＝Ｍ２１。

ＲＲ解：略去边缘效应，当里面螺线管载有电流I2时

B?0N2I22?l

通过外面螺线管的磁链为 ??0N1N2I221?N1B2S2?l?R22

由互感系数的定义

ＲM??0N1N221?21?l?R2I2

2 同理，当外面螺线管载有电流I1时，B1??0N1I1l，

通过里面螺线管的磁链为 ?N2I112?N2B1S1??0N1l?R22→

M??0N1N212??12?R2I21l

即：Ｍ１２＝Ｍ２１

１、 如图所示，一条无穷长载流直导线在一处折成直角，P

r点在折线的延长线上，到折点的距离为a. （１） 设所载电流为Ｉ，求Ｐ点的Ｂ；

（２）

当Ｉ＝２０Ａ，a＝2.0cm时，Ｂ＝？

解： （１）B??0I?r(cos?cos??I1?2)?044?a

?1??2,?2??

（２）B?0.4高斯

２、 如图所示，一条无穷长直导线在一处弯折成1/4圆弧，

圆弧的半径为Ｒ，圆心在Ｏ，直线的延长线都通过圆心。

已知导线中的电流为Ｉ，求Ｏ点的磁感应强度。

解：与上题同理，只有１／４圆弧在Ｏ点产生磁场

B?1?0I42R??0I8R

３、 如图所示，两条无穷长的平行直导线相距为２a，分别

载有方向相同的电流Ｉ１和Ｉ２。空间任一点Ｐ到Ｉ１的垂直距离为x1,到Ｉ２的距离为x2,求Ｐ点的磁感强度Ｂ。解：B2?B21?B22?2B1B2cos?

其中B1?20I21?x22?4a21??0I2?x B2?12?x

cos??x

22x1x2

B??022?x?I1?I2??I1x?I22x221??4aI1I2

1x2４、 如图所示，两条无限长直载流导线垂直而不相交，其间

最近距离为d=2.0cm，电流分别为Ｉ１＝4.0A , Ｉ２=6.0A，Ｐ点到两导线的距离都是d, 求Ｐ点的磁感强度Ｂ。

解： B??0I1I212?d 方向向里 B?02?2?d 方向向右

B?B21?B22?0.72高斯 方向为B1和B2的合矢量方向。５、 载流三角形线圈的边长为2a，电流为Ｉ，求轴线上距中

心为r0处的磁感强度。

解：B?0I?0I1?4?R(cos?1?cos?2)?(cos?

4??a/3?r20?21?cos?212) ?2?0IadB 4??a2/3?r2120??4a2/3?r220?1r0 2B?2B1cos??9?0Ia θ2??12a a2?3r20??4a2?3r20?2I θB的方向沿三角形线圈的轴线

６、 如图所示，两圆线圈共轴，半径分别为Ｒ１和Ｒ２，电流

分别为Ｉ１和Ｉ２，电流方向相同，两圆心相距为2b,联线的中点为Ｏ。求轴线上距Ｏ为x处Ｐ点的磁感应强度。

解：两线圈在I P点产生的磁感强度方向一致。

应用叠加原理a P RIO x R2IB?20R1I11?3B??0R2I22?R2221??b?x?2? 2?R223 22??b?x??2B?B??0?I2?1R1I22R2?1?B2?2? P点处B的

???R21??b?x?2?3?2?R22??b?x?2?32???方向向左

７、 如图所示，两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电

流，面电流密度分别为i1和i2，两电流

Ｉ 平行，求： （１）

两面之间的磁感应强度； （２）

两面之外的磁感应强度； （３）

i1＝i2＝i时，结果如何？

ii解：利用上题结果，一块电流均匀分布，面电流密度为i的

无限大平面，在空间产生的磁感强度的大小为

?0i2，其

方向与电流方向垂直且成右手螺旋关系。若以n为面法线方向，可以表示为 B??02i?n Ix （

１

）

两

平

面

之xB间

B???0i??1B2B2?11n02?2i???022n??1id ?2i?1n

⊙I

（２）两平面之外

I1

B?B?B??0i??

n00122112?2i???22n??1 i?2i ?1n

（３）i1＝i2＝i时， B内＝０ Ｂ外＝μ０i

８、 半径为Ｒ的无限长直圆筒上有一层均匀分布的面电流，

电流都绕着轴线流动并与轴线垂直，面电流密度为i，

求轴线上的磁感应强度。

解：半径为Ｒ的圆电流Ｉ在轴线上离圆心为r处产生的磁感

应强度B的方向为Ｉ的右旋进方向。其大小为

0B???0Idlsin904??r2?R2?sin???0I?2?RR?20IR4??r2?R2?r2?R2?2?3 将载流螺

r2?R2?2线管看成是共轴圆电流的集合，由叠加原理得

R