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∴点P到直线l的距离的最大值dmax=点P到直线l的距离的最小值dmin=

[选修4-5:不等式选讲]

23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．

=

．

，

（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T； （Ⅱ）设m、n∈T，证明：

|m+n|＜|mn+3|．

【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．

【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a2，由此求得实数a的取值的集合T；

（2）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可证明结论．

【解答】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立， ∴3＞a2，∴﹣∴T={a|﹣

＜a＜

，

＜a＜}；

（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3， ∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0， ∴3（m+n）2＜（mn+3）2， ∴

|m+n|＜|mn+3|．

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2017年4月5日

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