当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)， 单调递减区间为(0，a).
(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)， 使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立， ?2?即x∈(－2，－1)时，a
??max2
当且仅当x＝x即x＝－2时等号成立.
所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－22).
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11.(2017·承德调考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x) A.f(1) f′（x）ex－f（x）（ex）′f′（x）－f（x）?f（x）? 则g′(x)＝?x?′＝＝<0， e2xex?e?所以函数g(x)＝ f（x） ex在R上是单调减函数， 所以g(1) 12.(2016·山东师大附中月考)若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( ) 51?? A.?－∞，8? ???51?C.?8，＋∞? ?? B.(－∞，3] D.[3，＋∞) 解析 f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，3?1?4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥2?x＋x?在[1，4]上恒成立. ??1?513?1?3?因为y＝2?x＋x?在[1，4]上单调递增，所以t≥2?4＋4?＝8. ????答案 C 13.(2017·杭州调研)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称.则m＝________，f(x)的单调递减区间为________. 解析 由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.① 由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n， 所以g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n. 因为g(x)的图象关于y轴对称，所以－ 2m＋6 ＝0， 2×3 所以m＝－3，代入①得n＝0，所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2). 由f′(x)<0，得0 14.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，m?? 2]，函数g(x)＝x3＋x2·?f′（x）＋2?在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m ??的取值范围. 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝ a（1－x）， x 当a>0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)； 当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)； 当a＝0时，f(x)不是单调函数. a (2)由(1)及题意得f′(2)＝－2＝1， 即a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝?m? ∴g(x)＝x3＋?2＋2?x2－2x， ??∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数， 即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点. ?g′（t）<0， 由于g′(0)＝－2，∴?当g′(t)<0， g′（3）>0.?即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立， 由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0， 即m<－5且m<－9，即m<－9； 3737 由g′(3)>0，即m>－3，所以－3 即实数m的取值范围是?－3，－9?. ?? 1 15.已知函数f(x)＝ln x－2ax2＋(1－a)x，其中a∈R，f′(x)是f(x)的导数. (1)讨论f(x)的单调性； (2)在曲线y＝f(x)的图象上是否存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)使得直线AB?x1＋x2? ?？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理由. 的斜率k＝f′? ?2?－ax2＋（1－a）x＋11 解 (1)由已知得f′(x)＝x－ax＋(1－a)＝(x>0)， x当a≤0时，∵x>0，∴f′(x)>0，f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数； －ax2＋（1－a）x＋1 当a>0时，f′(x)＝ x ?1?－a?x－a?（x＋1）1???? 0，＝，∴当x∈?时，f′(x)>0， a?x?? 1???1??1? f(x)在?0，a?上单调递增，当x∈?a，＋∞?时，f′(x)<0，f(x)在?a，＋∞?上单调 ??????递减. 2x－2 x. (2)由题意，得k＝ y1－y2 ＝ x1－x2 a2a2???? ?ln x1－2x1＋（1－a）x1?－?ln x2－2x2＋（1－a）x2????? x1－x2x1a2lnx－2（x21－x2）＋（1－a）（x1－x2）2 ＝ x1－x2x1lnx a2 ＝－2(x1＋x2)＋(1－a)， x1－x2 2a22?x1＋x2??x1＋x2??＝?，得f′?－2(x1＋x2)＋(1－a)，由k＝f′?＝，即x1－x2x1＋x2?2?x1＋x2?2??x1? ?x－1?2?2?x12（x1－x2）x1x1 lnx＝，即lnx－x＝0，令t＝x，不妨设x1>x2，则t>1，记g(t) x1＋x22212 ＋1x22（t－1）（t－1）2414 ＝ln t－＝ln t＋－2(t>1)，g′(t)＝t－＝>0，∴ t＋1t＋1（t＋1）2t（t＋1）g(t)在(1，＋∞)上是增函数，g(t)>g(1)＝0，方程g(t)＝0无实数解，故满足条件的两点A，B不存在. x1lnx