第2讲 导数与函数的单调性

最新考纲 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).

知 识 梳 理

1.函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)在某个区间内可导，

(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增； (2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；

(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间. 3.已知单调性求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( ) 解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0. (2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)√ (3)×

2.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是( ) A.(－∞，1] C.(－∞，0]

B.[1，＋∞) D.(0，＋∞)

解析 令f′(x)＝ex－1>0得x>0，所以f(x)的递增区间为(0，＋∞). 答案 D

3.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )

解析 由y＝f′(x)的图象易知当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，故函数y＝f(x)在区间(0，2)上单调递减. 答案 C

4.(2014·全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( ) A.(－∞，－2] C.[2，＋∞)

B.(－∞，－1] D.[1，＋∞)

1

解析 依题意得f′(x)＝k－x≥0在(1，＋∞)上恒成立， 1

即k≥x在(1，＋∞)上恒成立， 1

∵x＞1，∴0＜x＜1，∴k≥1，故选D. 答案 D

ln x

5.若f(x)＝x，0＜a＜b＜e，则f(a)与f(b)的大小关系为________.

解析 f′(x)＝

1－ln x

x2，当0＜x＜e时，1－ln x＞0，

即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上单调递增， ∴f(a)＜f(b). 答案 f(a)＜f(b)

考点一 求不含参数的函数的单调性

【例1】 已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－4

3处取得极值. (1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性. 解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，

因为f(x)在x＝－4f′??4?3处取得极值，所以?－3??＝0，

所以3a·16?9＋2·??－4?16a8

13??＝3－3＝0，解得a＝

2. (2)由(1)得g(x)＝??1?2x3＋x2???ex

，

故g′(x)＝??3??1?

?2x2＋2x??ex＋??2x3＋x2??ex

＝??15?2x3＋2x2＋2x?

??ex ＝1

2x(x＋1)(x＋4)ex. 令g′(x)＝0，

解得x＝0，x＝－1或x＝－4.

当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数； 当－40，故g(x)为增函数； 当－10时，g′(x)>0，故g(x)为增函数.

综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞为增函数.

规律方法 确定函数单调区间的步骤：

)内(1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 1

【训练1】 函数y＝2x2－ln x的单调递减区间为( ) A.(－1，1] C.[1，＋∞)

B.(0，1] D.(0，＋∞)

121x2－1（x－1）（x＋1）

解析 y＝2x－ln x，y′＝x－x＝x＝(x>0).令y′≤0，得

x0

考点二 求含参函数的单调性

【例2】 (2017·湖州调研)设函数f(x)＝aln x＋

x－1

，其中a为常数. x＋1

(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性.

x－1

解 (1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞).

x＋1此时f′(x)＝

21

.可得f′(1)＝

2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的（x＋1）2

切线方程为x－2y－1＝0. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).

ax2＋（2a＋2）x＋aa2

f′(x)＝x＋＝.

（x＋1）2x（x＋1）2

当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1). 1

①当a＝－2时，Δ＝0，f′(x)＝递减.

1

－2（x－1）2x（x＋1）2

≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调