习题2

2.1 已知下，节点x1,x2及节点处函数值f(x1)，f(x2)，构造线性插值多项式p1(x). 解：

p1(x)?(x?x2)(x1?x2)f(x1)?(x?x1)(x2?x1)f(x2)

2.2 设f(xi)=i(i=0,1,2),构造二次式，使p2(x)满足： p2(xi)=f(xi)(i=0,1,2) 解： p2(x)?(x?x1)(x-x2)(x0?x1)(x0?x2)f(x0)?(x?x0)(x?x2)(x1?x0)(x1?x2)f(x1)?(x?x0)(x?x1).(x2?x0)(x2?x1)f(x2)

2.3 设节点xi=i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造次数不超过3次的多项式p3(x),满足

p3(xi)=f(xi),i=0,1,2,3 解：

(x?x1)(x-x2)(x?x3)(x0?x1)(x0?x2)(x0?x3)(x?x0)(x?x1)(x?x3).(x2?x0)(x2?x1)(x?x3)(x?x0)(x?x2)(x?x3)(x1?x0)(x1?x2)(x?x3)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x3-x0)(x-x1)(x-x2)33p3(x)?f(x0)?f(x1)

f(x)3 ?f(x2)?2.4已知函数y＝f(x)的观察数据为

－2 0 4 5 5 1 －3 1 试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn(x)，并计算f(－1)。 解 先构造基函数

xk yk

所求三次多项式为

2.5已知函数y＝f(x)的数据如下表中第1，2列。计算它的各阶均差。

k 0 1 2 3 4

xk 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 f(xk) 0.410 75 0.578 15 0.696 75 0.888 11 1.201 52 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 解 依据均差计算公式，计算结果列下表中。

k 0 1 xk 0.40 0.55 f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0.410 75 0.578 15 1.116 00 2 3 4

0.65 0.80 0.90 0.696 75 1.168 00 0.280 00 0.888 11 1.275 73 0.358 93 0.197 33 1.201 52 1.384 10 0.433 48 0.213 00 0.031 34 2.6 设节点xi=i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造Newton插值多项式。

解：依据均差计算公式，计算结果列下表中。

k 0 1 2 3 xk 0 1 2 3 f(xk) 1 0 -7 26 一阶均差 二阶均差 三阶均差 -1 -7 33 -3 20 23/3 所以有： P3(x)=1-x-3x(x-1)+(23/3)x(x-1)(x-2)

2.7 构造三次多项式P3（X）满足：P3（0）= P3（1）=0，P3（0）=P3（1）=1。

解：

构造p3(x)具如下形式：

p3(x)= p1(x)+(x-0)(x-1) q1(x)

其中p1(x) 满足：P1（0）= P1（1）=0（因此p1(x)=0），q1(x)为一次多项式。 因此p3(x) 也满足：P3（0）= P3（1）=0

对p3(x)求导有：p’3(x)=(2x-1)q1 (x)+x(x-1)q1’(x)

令p’3(x) 满足： P3’（0）=P3′（1）=1有：q1 (0)=-1； q1 (1)=1 即：q1(x)=2x-1

所以有：p3(x)= (x-0)(x-1)(2x-1)

2.8 已知数据如下表，试用直线拟合这组数据。

’

′

xk yk

解：计算结果列入下表中

k 1 2 3 4 5 1 4 2 4.5 3 6 4 8 5 8.5 xk 1 2 3 4 5 yk 4 4.5 6 8 8.5 xk ?xkyk 4 9 18 32 42.5 1 4 9 16 25 ? 15 .n=5.a0,a1满足的法方程组是 ??a????a???? ?

??a???a????.????31 55 105.5

解得a0=2.45, a1=1.25.所求拟合直线方程为 y =2.45+1.25x

2.9给定数据如下表：

xk yk 1.00 1.25 6.10 6.79 1.50 1.75 2.00 7.53 8.45 9.46 求形如y?aebx的最小二乘拟合曲线。

解:提示:如例2.6。

2.10 依据本章2.1问题举例中表2-2的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录，确定该纤维的强度与其拉伸倍数的关系。

解：提示：用2.4.3最小二乘曲线拟合例程求解。