1.8 逐差法

在实验中，常会遇到等间隔地测量线性连续变化的物理量，求其间隔平均值的问题。如研究金属金属材料实验中，金属丝因受到F的作用力而伸长△L，在金属丝下端加1kg，2kg,…，7kg的砝码，金属丝端点垂在标尺上的读数分别为l1,l2,?,l7设金属丝原长为l0。金属丝在1kg砝码作用下平均伸长为：

Δ1l?(l1?l0)?(l2?l1)???(l7?l6)l7?l0?77

由上式可知，l1,l2,?,l6等中间值全部被抵消了，只有始末两次测量值起作用，与一次增加7kg砝码的单次测量完全相同，如果这始、末两值测不准，就会给结果造成很大的误差。

为了保持多次测量的优点，需要在数据处理方法上做一些变化。将间隔连续测量值分成两组，一组为前半数据，l0,l1,l2,l3；另一组为后一半数据，l4,l5,l6,l7。取对应项的差值为l4?l0，l5?l1，l6?l2，l7?l3，再取平均值，即：

(l4?l0)?(l5?l1)?(l6?l2)?(l7?l3)Δ4l? (1.29)

7这样，充分利用了测量数据。上式计算的Δ4l是增加4kg砝码时，金属丝的平均伸长量，常称这种处理数据的方法为逐差法。实际上，求Δ1l形式的逐项逐差，在砝码重量作为自变量等间隔变化时，失去作用，而求Δ4l形式的逐项逐差才使数据充分发挥作用。

一般情况下隔项逐差称为分组逐差法。

广义上说，对于线性关系式y?ax?b，自变量为等间隔变化(xi?1?xi?c)，求其斜率a和截距b时，可以采用分组逐差法。

具体如下：

测量得到多组对应数据x1,x2,?,xn和y1,y2,?,yn有

y1?ax1?b

y2?ax2?b?yn?axn?b(x2?x1?c)?[xn?x1?(n?1)c].24.

(1.30)

设测量次数n为偶数，令k＝n／2，把上式分成两组，且各组数目相同。 1组

y1?ax1?b

y2?ax2?b?yk?axk?b(x2?x1?c)?[xk?x1?(k?1)c]

2组为

yk?1?axk?1?byk?2?axk?2?b?y2k?ax2k?b对应方程相减：

[xk?1?x1?kc][xk?2?x1?(k?1)c]?[x2k?x1?(2k?1)c]

?y1?yk?1?y1?a(xk?1-x1)?a(k)c?y2?yk?2?y2?a(xk?2-x2)?a(k)c

…

?yk?y2k?yk?a(x2k-xk)?a(k)c

Δya??Δx?(y?(xi?1i?1kkk?i?yi)??xi)?(yi?1kk?i?yi) (1.31)

KCk?i除上述条件外，符合下列条件也可用逐差法。 函数可以写成x的多项式形式，如：

y?a0?a1x?a2x2 y?a0?a1x?a2x2?a3x3

等。有些函数也可写成上述形式。

24?如弹簧振子的周期公式 T=2πm/k可写成T2=m，测量T2是m线性函数。

k逐差法特点：

1)逐差法比作图法精确，且简单易懂，运算方便，是物理实验中常用的数据处理方法。

.25.

2)能充分利用测量数据，绕过一些未知求出所需的物理量。如上例杨氏模量实验，由于钢丝不直，外加力F后，除了钢丝的伸长量?l，还有钢丝展直的伸展量?l，F＝a(?l+?l),而?F=a?(?l),使误差消除，测量值不受其影响。

3)验证测量量的函数关系，如果逐项逐差数值基本上为常数，说明测量量间为线性关系(二次逐差值基本为一常数，则为二次多项式)。

4)局限性，只限于自变量等间隔变化，直线斜率是求差分平均得到，精度也受到限制。

??1.9 最小二乘法

最小二乘法是一系列近似计算中最为准确的一种，采用最小二乘法能从一组同精度的测量值中确定最佳值。最佳值是各测量值的误差的平方和为最小的那个值，或能使估计曲线最好地拟合于各测量点，使该曲线到各测量点的偏差的平方和达到最小。最小二乘法的原理和计算都比较繁琐，这里仅介绍如何应用最小二乘法进行实验曲线的拟合。已知函数关系，确定未定参量最佳值的方法。

yi+++(xi ,yi )+xi图1-9 y-x拟合直线

x

设已知函数的形式为：

y?a0?a1x

(1.32)

式中 自变量只有x一个，故称一元线性回归。实验得到的一组数据为

x?x1,x2,?,xi y?y1,y2,?,yi

.26.

如果实验没有误差，把(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xi,yi)代入(1.32)式时，方程左右两边应该相等。但实际上，测量总存在误差，我们把归结为y的测量偏差，并记作

?1,?2,?,?i，如图1-9所示，这样式(1.32)就应改写成：

y1?a0?a1x1?ε1?y2?a0?a1x2?ε2?? ?i?1,2,?,n

??yi?a0?a1xi?εi?? (1.33)

根据误差理论可以推证：要满足以上要求，必须使各偏差的平方和为最小，即

????(y?a2iii?1i?1nn0?a1xi)2

(1.34)

为求

??i?1n2i的最小值，把（1.34）式对a0和x分别求偏微商

??a0?(yi?1ni?a0?a1xi)2?0

?n(yi?a0?a1xi)2?0 ??a1i?1即

??2?(yi?a0?a1xi)xi?0?? i?1? n?2?(yi?a0?a1xi)?0??i?1?由(1.35)式，有

n (1.35)

?xyii?1nni?a1?xi?a0?xi?0

2i?1i?1nnn?yi?1i?a1?xi?na0?0

i?1令：

.27.