图 1-6

通过以上的分析可以得出标准误差σ所表示的概率意义。对物理量x任做一次测量时，测量误差落在-σ到+σ之间的可能性为68.3％，落在—2σ到+2σ之间的可能性为95.5％，而落在-3σ到+3σ之间的可能性为99.7％。由于标准误差σ具有这样明确的概率含义，因此，国内外已普遍采用标准误差作为评价测量优劣的指标。

实际测量的次数n是不可能达到无穷大的，而且真值x0也是未知的，因此，计算标准误差σ的公式(1.9)只具有理论上的意义而没有实际应用价值。那么，在对物理量x进行的有限次测量而真值又不知道的情况下，确定σ可根据偶然误差的可抵偿性，即在相同的测量条件下对同一物理量进行多次重复测量，每一次测量的误差时大时小，时正时负，但误差的代数和趋于零。用测量列x1，x2，…，xn表示对物理量x进行n次测量的值，那么

?1?x1?x0?2?x2?x0?

?n?xn?x0将以上各式相加得

n????xii?1i?1nni?nx0

由于

lim??n??i?1i?0

因此有

?x

i?1nn?x?x0

.12.

可见，测量次数越多，算术平均值x越接近真值x0。可以用算术平均值x作真值x0

的最佳估计值。在实际测量过程中用残差来计算每次测量的偏差

vi?xi?x (1.13)

可以证明，当测量次数为有限次时，可以用标准偏差Sx作为标准误差σ的估计值。Sx的计算公式如下

2(x?x)?ii?1nSx?n?1 (1.14)

有时也简称Sx为标准差，它具有与标准误差σ相同的概率含义。式（1.14）称为贝赛尔公式，在实际测量中经常用到它。一般情况下，对x进行不同组的有限次测量，各组结果的算术平均值是不会相同的。可以证明，平均值的标准偏差为Sx的1/n，即

Sx?(三)粗大误差

Sxn?(x?i?x)2n(n?1) (1.15)

它是由实验者的失误造成的,如在记录和计算数据时写错数据，或者实验操作不当、仪器损坏等。这是一种人为因素的错误，实验者必须要避免它。我们所说的误差不应包括这类误差。

综上所述，随机误差和系统误差在产生原因、性质、特点和处理方法上是不同的，但是它们又有密切的联系。在实际测量时二者可能同时出现。一般仪器误差既包含系统误差也包含随机误差。当实验条件变化时，随机误差和系统误差又可能互相转化。这要求我们根据具体情况分析误差的性质，再作相应的处理。

1.4 测量结果的不确定度

在测量过程中，测量误差是普遍存在的。各种误差因素必然导致测量结果偏离真值，即具有误差，且每次结果的误差又具有一定的不确定性。为了对测量结果的这种不确定程度进行定量的估计，需要引入一个新的概念——不确定度。1993年，国际计量局（BIPM）等七个国际组织正式发布了“测量不确定度表示指南”，简称“GUM”。指南中规范了各领域中测量不确定度计算和表达的方法。我国自1999年5月1日起实施GUM，科学、准确、规范的表示测量结果。

测量不确定度是与测量结果相联系的参数，表征合理的赋予被测量值的分散性。它反

.13.

映测得值附近的一个范围，真值以一定的概率落在其中。不确定度越小，标志着误差的可能值越小，测量的可信赖程度越高；不确定度越大，标志着误差的可能值越大，测量的可信赖程度越低。所以说，测量不确定度是测量质量的一个极其重要的指标。

由于误差来源不同，一个直接测量的不确定度会有很多分量，按获得的方法可把这些分量分为A类不确定度和B类不确定度。

一、A类标准不确定度（uA）

凡是可以通过统计方法来计算不确定度的称为A类不确定度，用标准差表示的A类不确定度称为A类标准不确定度，用uA 表示。

uA?Sx??(xi?1ni?x)2 （P=68.3%） (1.16)

n?1二、B类标准不确定度(uB)

凡是不能用统计方法计算，而只能用其他方法估算的不确定度称为B类不确定度，用标准差表示的B类不确定度称为B类标准不确定度，用uB表示。

B类不确定度一般有多个分量，uB1，uB2，…，它们一般均与一定的系统误差相连系。

这些分量不能用统计方法得出，因此只能根据具体情况进行估算。对B类不确定度的评定，有的依据仪器说明书或鉴定书，有的依据仪器的准确度等级，有的则粗略的依据仪器的分度值或经验。从这些信息可以获得该项系统误差的极限值△。对此误差一般按误差理论的均匀分布处理，其标准差为△/3，则B类标准不确定度uB取为

uB＝△/3

(P=68.3%） (1.17)

但实际上该项误差的分布可能不是严格的均匀分布，那时上式中的换算系数将和3不同，在此是近似的处理。

例如，使用一准确度等级为0.5级，量程0～100mA的电流计测一电路的电流强度I,则由电流计的基本误差引入的I的标准不确定度就是B类不确定度，△＝0.5%×100mA，则

uB(I)＝（0.5%×100）mA/3＝0.29mA

三、合成不确定度（C类不确定度）（uC）

若测量结果所含A类标准不确定度和B类标准不确定度分量之间是相互独立的，则合成标准不确定度为

222uc?uA?uB?u1B2?? (1.18)

.14.

1.5 测量结果不确定度估算及表示

一、用不确定度表示测量结果的准确程度

在得到了测量值和计算出合成不确定度后，通常要写成下列形式：

N?N'?uC（单位） （P=0.683） (1.19)

E?uc?100% (1.20) N'上式称为测量结果表达式。其中N为真值，N'为测得值，P是置信概率。其物理意义是：真值在（N'-uC）～（N'+uC）范围内的置信概率是68.3%。还可以取2uC，3uC等（就是取不同概率大小的总不确定度），这时结果表达式可以写成

N?N'?2uC,N?N'?3uC等。它们的物理意义就成为：真值在（N'-2uC）～（N'+2uC）

或（N'-3uC）～（N'+3uC）范围内的置信概率为95.4%或99.7%。实际测量中，要准确得到概率是比较困难的，实际概率是以上理论概率的近似。

在实验结果表示中，一般采用上式。 二、直接测量结果的不确定度估算 1．单次测量

实际测量中，遇到不能进行（或不需要）多次测量的量，把测量值x1作为该物理量的值，取仪器误差限Δ

仪作为测量的不确定度，即

x=x1±Δ

相对不确定度：

仪（单位）

仪/（P=100%） (1.21)

或 x=x1±uc=x1±Δ3 （单位） （P=68.3%）

E?uc?100% (1.22) x1仪器误差一般根据生产厂家仪器说明书规定的示值误差或准确等级来确定。例如，50分度的游标卡尺，测量范围在0～300mm内，示值误差为±0.02mm；量程150mA，0.5级的电流表的允许误差限为0.75mA(磁电式电表误差＝量程×级别％)。

在物理实验中还可以简化约定一些仪器的误差限，即取其最小刻度的1／2或1／3，如米尺Δ

仪＝0.5mm，千分尺

Δ仪=0.005mm等。

2．多次等精度直接测量的处理

.15.