3)对其他形式的恒定系统误差采取适当的测量方法去抵消，常用的方法有： 异号法 改变测量中某些条件进行测量，例如改变测量方向等使两种条件下的测量结果的误差符号相反，取平均值作为测量值来消除不均匀性带来的系统误差。例如，在研究金属材料弹性实验中，加砝码和减砝码各记一次数，取平均值可消除光杠杆上升或下降时因摩擦、金属丝伸縮滞后等因素产生的系统误差。

交换法 本质上也是异号法，但在形式上是将测量中的某些条件，例如被测物体的位置相互交换，是产生系统误差的原因对测量的结果起相反的作用，从而抵消系统误差。用电桥法测量未知的电阻值时，将待测物放在不同的桥臂上，如图1-2（a）所示。

Rx?2R1RR3置换后，如图1-2(b)所示，Rx?2R'3 R2R1R3R'3

则 Rx?R3R'3,Rx?替代法 保持测量条件不变，用一个已知量替换被测量，再作测量以达到消除系统误差的目的。用天平测量一物体的质量，可以不直接从左盘的砝码读出物体的质量，而是把右盘的物体取下用砝码代替物体再保持天平平衡，然后，读出右盘砝码的质量来消除等臂引起的系统误差。

零示法 为了消除指示仪表不准而造成的系统误差，测量中当被测量的量与标准量相互平衡使指示仪表示零。这时被测量的值就等于标准量，这就是零示法。例如：电桥电路、电位差计等都是用这种方法来消除指示仪表不准引起的系统误差的。

4．可变系统误差(变值系统误差或对称变化系统误差)的消除

在测量条件或某几个因素变化时，误差的大小和符号按确定的函数规律而变化，变值系统误差的种类很多，有的还比较复杂，我们只略谈一下常用的。

(1)线性变化的系统误差

在整个测量过程中，随时间线性变化(递增或递减)的系统误差，如图1-3，可将观测程序可将观测程序对某时刻对称地再做一次。例如，一只灵敏电流计零点随时间有线性漂移，在测量读数前记下一次零点值，测量读数后再记—次零点值，取两次零点值的平均值来修正测量。这种消除系统误差的方法称

为对称观测法。 图 1-3

由于很多随时间变化的误差在短时间内均可认为是线性变化．因此对称观测法是一种能够消除随时间变化的系统误差的好方法。

(2)周期性变化的系统误差

.8.

随着测量值或时间的变化而呈正弦曲线变化的系统误差，即为周期性系统误差，如分光计的偏心差可表示成：ε＝esinφ，当φ=0°，180°, 360°时,ε＝O；而当φ=90°，270°时，ε＝e.

周期性系统误差一般可以表示为： ε＝esin(2πt／T)

式中 T为误差变化周期，t为决定周期误差的自变量(如时间，角度等) 当t＝t0时，ε0＝esin(2πt0／T)

当t＝t0十T／2时，ε1＝esin[2π(t0十T／2)／T]=-esin(2πt0／T) 于是，取算术平均值则有： ε＝(ε

0十ε1)／2=0

可见，对于周期性系统误差，只要选读一个数ε0，然后每隔半个周期进行一次测量，只要测量次数是偶数，取平均值即可消除。

(3)复杂规律变化的系统误差

在整个测量过程中，这一类误差是按一定的但是比较复杂的规律变化的系统误差。这些复杂规律，可能是某些初等函数形式，如对数，幂指数，指数函数等形式，也可能是经验曲线的形式。对于按复杂规律变化的误差，一般可以将它展开成代数多项式或三角多项式来分析它与某因素的关系。

此外，系统误差校对其掌握和可处理的程度又可分为已定系统误差和未定系统误差。在原则上一般都是可以发现、分离和消除的。而未定系统误差是指实验过程中不能确切地掌握其大小和方向，或没有必要去掌握它的规律，而只需要估计它的极限范围的系统误差。我们在实验中遇到的大部分测量仪器误差属于这一类。它们虽然有系统误差特征，但在大多数情况下，其本身的规律比较复杂，修正比较麻烦；另一方面，测量一般也只要求掌握系统误差的大小范围和方向，也不必要花大力气去处理它。如量程为V0的0.5级电压表，表明在被测量的范围内，测量值V的最大误差为± V0×0.5％。

(二)偶然误差(又称随机误差)

在实际相同的条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号的变化，时大时小，时正时负，以随机的方式变化的误差。

1．偶然误差来源

是由大量微小的涨落性的个别扰动累积而成的。 (1)判断的起伏

如用仪器时对最小分度以下作估读，仪器调整和操作上的不一致，而观测者由于感官分辨能力的局限性时时改变。

.9.

(2)测量工作状态的偶然变化，如空气流动，温度起伏，湿度、压强的变化，电源电压的波动等。

(3)实验和测量过程中各种外界因素的干扰，如振动、电磁场、热、光、声等。 (4)被测物体本身的不确定性，如钢丝的直径，由于加工方面的技术困难，一般不可能很均匀，而在不同位置、不同方向去测量其值是不完全相同的，因而钢丝的直径是不确定的，只能去测它的平均直径。

2．偶然误差的规律

对一般物理实验和大多数测量来说，认为产生偶然误差的原因是相对独立的，微小的多种因素影响的综合效果，而不是某一因素起主要作用。由概率统计论证明，此时偶然误差将服从正态分布(高斯分布)，实际的观测结果也证实了这一点。

正态分布的特征： (1)有界件

偶然误差的绝对值不会超过一定界限。 (2)单峰性

绝对值小的误差出现的几率比绝对值大的误差出现的几率大。 (3)对称性

绝对值相等的正负误差出现的概率相等。 (4)抵偿性

正负误差的代数和为零、

这一统计规律在数学上可用概率密度函数(高斯误差分布函数)来描述。

f(?)?1?2?e??2/2?2 (1.7)

式中f(δ)为概率密度函数，即误差值δ在其附近单位区间内出现的概率,δ=x-x0

为测量值的误差，δ是高斯分布函数的惟一参量，表示在一定条件下随机误差的离散程度。

图 1-4 正态分布

.10.

图 1-5

高斯分布曲线如图1-4所示。横坐标表示误差值，纵坐标表示概率密度的大小。坐标原点相当于δ＝0，对应着真值x0的位量。曲线下的总面积表示各种可能误差值出现的总概率为

??P????f(?)d??1 (1.8)

σ是高斯分布曲线成拐点的横坐标，它的大小确定曲线的形状，如图1-5所示。σ大，表明随机误差离散程度大，测量的精密度低，曲线形状低而宽：反之，曲线形状高而窄。因而参量σ用来量度测量的精密度。σ的数学表达式是

???(?)i?1n2n??(x?x)i0i?1n2n (1.9)

式中, 测量次数趋于无限大。σ称为标准误差(均方根误差)。

由概率密度分布函数的定义(1.7)式，计算一下某次测量偶然误差出现在[-σ，+σ]区间的概率

??P??f(?)d??0.683 (1.10)

??同样可以计算，某次测量偶然误差出现在[-2σ，+2σ]和[-3σ，+3σ]区间的概率分别为

P??P???2??2??3?f(?)d??0.955 (1.11) f(?)d??0.997 (1.12)

?3?以上3式所表示的积分面积如图1-6所示。

.11.