概率论1

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1） 设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且

P(A)?P(B)?0.5，P(C)?0.2，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为___________.

（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2

个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.

?2x,0?x?1,（3） 设随机变量X的概率密度为f(x)?? 现对X进行四次独立重复观

0,其它,?2察，用Y表示观察值不大于0.5的次数，则EY?___________. （4） 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为

(X,Y)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)

P0.40.2ab 若EXY?0.8，则Cov(X,Y)?____________.

2（5） 设X1,X2,,X17是总体N(?,4)的样本，S是样本方差，若P(S2?a)?0.01，

则a?____________.

2222（注：?0.01(17)?33.4, ?0.005(17)?35.7, ?0.01(16)?32.0, ?0.005(16)?34.2）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

（1）设A、B、C为三个事件，P(AB)?0且P(C|AB)?1，则有

（A）P(C)?P(A)?P(B)?1. （B）P(C)?P(AB).

（C）P(C)?P(A)?P(B)?1. （D）P(C)?P(A（2）设随机变量X的概率密度为

B). （ ）

2? 且Y?aX?b~N(0,1)，则在下列各组数中应取

（A）a?1/2,b?1. （B）a?2/2,b?2.

（C）a?1/2,b??1. （D）a?2/2,b??2. （ ） （3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

f(x)?1e?(x?2)24,???x??

XP01Y01 0.40.6P0.40.6 则有

（A）P(X?Y)?0. （B）P(X?Y)?0.5.

（C）P(X?Y)?0.52. （D）P(X?Y)?1. （ ）

（4）对任意随机变量X，若EX存在，则E[E(EX)]等于

3（A）0. （B）X. （C）EX. （D）(EX). （ ）

（5）设x1,x2,

,xn为正态总体N(?,4)的一个样本，x表示样本均值，则?的

置信度为1??的置信区间为

44,x?u?/2). nn22 （B）(x?u1??/2,x?u?/2).

nn22 （C）(x?u?,x?u?).

nn22（D）(x?u?/2,x?u?/2). （ ）

nn （A）(x?u?/2

三、（8分）

装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的

箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 四、（10分）设随机变量X的概率密度为

?ax?1,0?x?2, f(x)??其它.?0,求（1）常数a；

（2） X的分布函数F(x)； （3）P(1?X?3).

五、（12分）

设(X,Y)的概率密度为

?e?x,0?y?x, f(x,y)??其它.?0,

求（1）边缘概率密度fX(x),fY(y)； （2）P(X?Y?1)；

（3）Z?X?Y的概率密度fZ(z).

六、（10分）

（1）设X~U[0,1]，Y~U[0,1]且X与Y独立，求E|X?Y|；

（2）设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y独立，求E|X?Y|.

七、（10分）

设总体的概率密度为

??x??1,0?x?1, (??0) f(x;?)??其它.0,? 试用来自总体的样本x1,x2,,xn，求未知参数?的矩估计和极大似然估计.

概率论2

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.5,p(B)?0.3,p(AB)?0.1，则

p(A- B)? 0.4 、p(A?B)? 0.7 、p(AB)? 1/3 ,P(A?B)= 0.3 。

2、一个袋子中有大小相同的红球4只黑球2只，

(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 8/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 4/9 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 13/21 .

3、设随机变量X服从参数为6的泊松分布，则p?X?1?? 1- e?6 p?X?2?? 0.36 , Y服从B（8，0. 6）的二

4、设随机变量X服从B（2，0. 6）的二项分布,则

项分布, 且X与Y相互独立，则

X?Y服从 B（10，0. 6） 分布，E(X?Y)? 6 。

5、设二维随机向量(X,Y)的分布律是有 则aX Y 0 1 0 1 0.3 0.2 0.2 a X与Y的相

?_0.3_，X的数学期望

E(X)?___0.5_______，

关系数?xy?___0.1______6、三个可靠性为p>0的电子元件独立工作，

p3；

（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：

（2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：1?(1?7、（1）若随机变量Xp)3；

~U(1,3)，则p?〈0X〈2?? 0.5；E(X2)?_13/3，

D(2X?1)? 3/4 ．

（2）若随机变量

X~

N(1, 4)且

?(1)?0.8413则P{?1?X?3}? 0.6826 ，

。 Y?2X?1,则Y~N( 3 ， 16 ）

E(X8、随机变量X、Y的数学期望E(X)=1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，则：

5 ，D(X9、设

?2Y)?

?2Y)? 17 。

分别为样

X1,...,X10及Y1,...,Y15分别是总体N(20,6)的容量为10，15的两个独立样本，X,Y22分别为样本方差。 ,S2本均值，S1则：

X~ N(20,3/5) ，X?Y~ N(0,1) ，pX?Y?1??= 0.3174 ，

S12322S1~?(9)，2~ F(9,14) 。 2S2此题中?(1)?0.8413。

二、（6分）已知随机变量X的密度函数

0?x?1?x?a, f(x)??0 , 其它?求：（1）常数a， （2）

p(0.5?X?1?5)（3）X的分布函数F（X）。

三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：

?3x2, 0?x?1,，fX(x)?? , 其它?0 ?2y, 0?y?1,，且随机变量X，Y相互独立。 fY(y)?? , 其它?0 （1）求（X，Y）的联合概率密度为：

f(x,y)

（2）计算概率值

p?Y?2X?。

四、（8分） 从总体

X~N(u, ?2)中抽取容量为

25的一个样本，样本均值和样本方差分别是：

22X?80,S2?9， t0.025(24)?2.0639,x0.975(24)?12.4,x0.025(24)?39.36

求u的置信度为0.95的置信区间和?

五 、（10分）设总体X服从N(u,?量，并证明它为u的无偏估计。

2 的置信度为0.95的置信区间。

2),?2已知,u未知。X1,?,Xn是X的一个样本，求u的矩估计

六、（5分）一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似服从正态分布,当设备正常时一天产800吨, 现测得最近5天的产量分别为:785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显著不为800吨。（取?此题中t0.025(4)

七、（5分）设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布N(u,?2?0.05），

?2.7764。

),?2,u未知,现他声称他的温度

计读数的标准差为不超过0.5, 现检验了一组16只温度计,得标准0。7度，试检验制造商的言是否正确（取

2??0.05），此题中?0.05(15)?24.996。

概率论3

1如果A ,B为任意事件，下列命题正确的是 ( B )。

A：若A ,B互不相容，则A,B也互不相容 B：若A ,B相互独立，则A,B也相互独立

C：若A,B不相容，则A,B互相独立 D： AB?A?B

2某人独射击时中靶率为2/3，若射击直到中靶为止，则射击次数为4的概率是( C )

?2?A:?? B: ?3?3?2?1??? C: ?3?33?1??1?2 D: ??? ???3??3?3，则k? ( A)

33?ke?2x3设X的密度为f(x)???0x?0其它A:2 B:1/2 C: 4 D: 1/4

4. 设R.V.X~N(?3,1)，R.V.Y~N(2,1)，且X和Y相互独立，令Z?X?2Y?7，则Z服从（ A）分布。

A:N(0,5) B:N(0,3) C:N(0,46) D:N(0,54)

5，如果X,Y为两个随机变量，满足?XY?0,下列命题中错误的是 ( B )。

A：X,Y不相关 B：X,Y相互独立

C：E(XY) =E(X)E(Y) D：D(X-Y) =D(X)+D(Y) 二、填空题（本大题共有6个小题，每空2分，共20分）

4 A,B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.2，若A,B互不相容，则P(A-B)= 0.4 ,P(A?B)= 0.4

5 一个袋中装有5个白球4个黑球。从中随机取2个（不放回），则取出的球依次为白，黑两球的概率为 5/18 ，取出第二个为白球的概率为 5/9 ，如果已知第二次取出的为白球，则第一次取出的为黑球的概率为 1/2 6某学生和朋友约定：在他参加的3门不同的考试中如果有一门过了95分就要开香槟庆祝，已知他这3门功课过95分的概率分别为1/2,1/4,1/5,则他们开香槟庆祝的概率为 0.7

7.若在高中生中，学生的平均身高为165厘米，方差为10，利用切比雪夫不等式估计身高在160厘米~170厘米之间的概率至少为 0.6

?e?y,y?08若X~N(1,4)，Y的概率密度函数f(y)??，X,Y互相独立，则

?0,其它E(2X+Y-2XY+2)= 3 ，D(2X+Y-2)= 17 19 设D(X)=D(Y)=1，?XY?,则D(X+2Y)= 7 2三、解答题（本大题共有3个小题，共32分）

10（7分） 有A,B,C三厂同时生产某种产品。A,B,C三厂的产量之比为1:1:3，次品率分别为4%，3%，2%。

1，若从一批产品中随机抽出一件，求这件产品为次品的概率。（4分）

2，若产品的售后部门接到一名顾客投诉，说其购买的产品为次品，请问那个厂最该为此事负责，为什么？（3分）

11（10分）某电话在t小时的间隔内收到呼叫次数X服从参数为3t的泊松分布，求

a,某一个小时内恰有5次呼叫的概率；（3分）

b,某一天上午9点到11点至少收到3次呼叫的概率。（3分） c，若t=3，求E(X),D(X). （4分）

?cxy,0?x?y?112（15分），设二维随机变量X,Y的概率密度为f(x,y)??

0,其他?1，确定常数c(3分) 2,求概率P(X+Y<1) (4分).

3,求边缘概率密度fX(x),fY(y),并判断X,Y是否互相独立。(6分) 4，求E(

1).(2分) XY

四、计算题（本大题共有3小题，共28分）

13（10分） 某地区18~24岁的年轻人血压服从N(100,152)分布，在该地区任选

一名测量其血压为X,求

a,P(X≤112)，P(X≥115)(查表，结果保留4位小数)（6分） b，确定常数a,使得P(X>a) ≤0.05 （4分）

14（12分） 某厂收到A,B两种产品的订货单数分别为X和Y万件。据以往的资料显示，X,Y的联合分布律为 Y 1 2 3 4 X X 1 0.01 0.03 0.04 0.02 0.1 2 0.05 0.15 0.2 0.1 0.5 3 0.04 0.12 0.16 0.08 0.4 Y 0.1 0.3 0.4 0.2 1 1，求P(X<3，Y<3)(2分) 2，求X,Y的边缘分布律（可以将答案在表中表示）。（4分） 3，求E(X),E(Y).并判断X,Y是否互相独立。（6分）

15（6分）从下题中任选一题求解，如果两题都做了，以得分最高的题为准。 A, 设X和Y是两个相互独立的随机变量，在(1,2)上服从均匀分布。求Z= X+Y的概率密度函数fZ(z) B,

X的概率密度函数为fx)???3x2设随机变量X(?0若Y=1-3X，求Y的概率密度函数fY(y).

0?x?1其它,