2. 设z=u2

ln v, 而 , v=3x?2y, 求 , .

解

3. 设z=ex?2y

, 而x=sin t, y=t3

, 求

.

解 .

4. 设z=arcsin(x? y), 而x+3t, y=4t3

, 求 .

解

.

5. 设z=arctan(xy), 而y=ex

, 求 .

解 . 6. 设 , 而y=asin x, z=cos x, 求

.

解

.

7. 设 , 而x=u+v, y=u?v, 验证

.

证明

.

8. 求下列函数的一阶偏导数2

2

xy

(其中f具有一阶连续偏导数): (1) u=f(x?y, e);

解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, , .

(2) ;

解 ,

,

.

(3) u=f(x, xy, xyz). 解 ,

,

.

9.

设z=xy+xF(u),

而

,

F(u)为可导

数, 证明

函 证明

=xy+xF(u)+xy=z+xy. 10. 设 , 其中f(u)为可导函数, 验证 证明

,

,

.

所以

11. 设z=f(x+y), 其中f具有二阶导数, 求 解 令u=x+y, 则z=f(u),

12. 求下列函数的 , , (1) z=f(xy, y);

解 令u=xy , v=y, 则z=f(u, v).

,

.

, ,

,

2

22

2

. ,

,

.

(其中f具有二阶连续偏导数):

,

.

因为f(u, v)是u和v的函数, 所以u和v为中间变量的x和y的函数. 和 也是u和v的函数, 从而 和 是以

,

,

.

(2) 解 令u=x, , 则z=f(u, v).

,

.

因为f(u, v)是u和v的函数, 所以 和

也是u和v的函数,u和v为中间变量的x和y的函数.

从而

和

是以