习题8?1
1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x, y)|x≠0, y≠0};
解 开集, 无界集, 导集为R, 边界为{(x, y)|x=0或y=0}. (2){(x, y)|1
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解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x, y)|1≤x+y≤4},
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解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x, y)| y≥x}, 边界为{(x, y)| y=x}. (4){(x, y)|x+(y?1)≥1}∩{(x, y)|x+(y?2)≤4}. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为{(x, y)|x+(y?1)=1}∪{(x, y)|x+(y?2)=4}.
2. 已知函数 解
, 试求f(tx, ty).
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. 3. 试证函数F(x, y)=ln x?ln y满足关系式: F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 证明 F(xy, uv)=ln((x, y)?ln(uv) =(ln x+ln y)(ln u+ln v)
=ln x?ln u+ln x?ln v+ln y?ln u+ln y?ln v =F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 4. 已知函数f(u, v, w)=u+w
xyxyw
u+v
, 试求f(x+y, x?y, xy).
(x+y)+(x?y) 2x
解 f(x+y, x?y, xy)=(x+y)+(xy)
=(x+y)+(xy).
5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y?2x+1);
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解 要使函数有意义, 必须y?2x+1>0, 故函数的定义域为D={(x, y)|y?2x+1>0}.
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(2) ;
解 要使函数有意义, 必须x+y>0, x?y>0, 故函数的定义域为D={(x, y)|x+y>0, x?y>0}. (3)
;
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解 要使函数有意义, 必须y≥0,即 , 于是有x≥0且x≥y,
故函数定义域为D={(x, y)| x≥0, y≥0, x≥y}. (4)
;
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解 要使函数有意义, 必须y?x>0, x≥0, 1?x?y>0, 故函数的定义域为D={(x, y)| y?x>0, x≥0, x+y<1}. (5)
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解 要使函数有意义, 必须R?x?y?z≥0且x+y+z?r>0, 故函数的定义域为D={(x, y, z)| r . 2 22 2 2 2 2222 (R>r>0); 2 2 2 2 解 要使函数有意义, 必须x+y≠0, 且故函数定义域为D={(x, y, z)|z≤x+y, x+y≠0}. 6. 求下列各极限: (1) 解 (2) 解 (3) ; ; . ; . 2 2 2 2 2 即z≤x+y, 222 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 . 7. 证明下列极限不存在: (1) ; 证明 如果动点p(x, y)沿y=0趋向(0, 0), 则 ; 如果动点p(x, y)沿x =0趋向(0, 0), 则 因此, 极限 (2) . 不存在. . . ; . ; . . 证明 如果动点p(x, y)沿y=x 趋于(0, 0), 则 ; 如果动点p(x, y)沿y =2x趋向(0, 0), 则 因此, 极限 8. 函数 不存在. 在何处间断？ . 解 因为当y?2x=0时, 函数无意义, 所以在y ?2x=0处, 函数 9. 证明 2 2 间断. . 证明 因为所以 因此 证明 因为 . , 故 . , . 时恒有 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当 , 所以 . 10. 设F(x, y)=f(x), f(x)在x处连续, 证明: 对任意y∈R, F(x, y)在(x, y)处连 0 0 0 0