第一章 绪论

1-1．20℃的水2.5m，当温度升至80℃时，其体积增加多少？ [解] 温度变化前后质量守恒，即?1V1??2V2 又20℃时，水的密度?1?998.23kg/m 80℃时，水的密度?2?971.83kg/m ?V2?333

?1V1?2.5679m3 ?23 则增加的体积为?V?V2?V1?0.0679m

1-2．当空气温度从0℃增加至20℃时，运动粘度?增加15%，重度?减少10%，问此时动力粘度?增加多少（百分数）？ [解] ??????(1?0.15)?原(1?0.1)?原

?1.035?原?原?1.035?原

????原1.035?原??原??0.035 ?原?原2此时动力粘度?增加了3.5%

1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为u?0.002?g(hy?0.5y)/?，式中?、?分别为水的密度和动力粘度，h为水深。试求h?0.5m时渠底（y=0）处的切应力。 [解] ?du?0.002?g(h?y)/? dydu?0.002?g(h?y) dy????当h=0.5m，y=0时

??0.002?1000?9.807(0.5?0) ?9.807Pa

1-4．一底面积为45×50cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s，油层厚1cm，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。

?

u

?

[解] 木块重量沿斜坡分力F与切力T平衡时，等速下滑

mgsin??T??Adu dy??mgsin?5?9.8?sin22.62 ?u1A0.4?0.45??0.001??0.1047Pa?s

1-5．已知液体中流速沿y方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律???du，定性绘出切应力dy沿y方向的分布图。 yyy uuu uuu [解]

yy y0

??= 0?=?0

???

1-6．为导线表面红绝缘，将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。已知导线直径0.9mm，长度20mm，涂料的粘度?=0.02Pa．s。若导线以速率50m/s拉过模具，试求所需牵拉力。（1.O1N）

?3?3?52[解] ?A??dl?3.14?0.8?10?20?10?5.024?10m

?FR??u50?5A?0.02??5.024?10?1.01N ?3h0.05?101-7．两平行平板相距0.5mm，其间充满流体，下板固定，上板在2Pa的压强作用下以0.25m/s匀速移动，

求该流体的动力粘度。

[解] 根据牛顿内摩擦定律，得

???/du dy???2/0.25?4?10?3Pa?s ?30.5?10s旋转。锥体与固定壁面间的距离?=1mm，用

1-8．一圆锥体绕其中心轴作等角速度??16rad（39.6N·m） ??0.1Pa?s的润滑油充满间隙。锥体半径R=0.3m，高H=0.5m。求作用于圆锥体的阻力矩。

[解] 取微元体如图所示

微元面积：dA?2?r?dl?2?r?切应力：???

dh cos?du?r?0?? dy?阻力：dT??dA

阻力矩：dM?dT?r

M??dM??rdT??r?dA

H??r??2?r?01dh cos?H?13????2??rdh(r?tg??h) ??cos?0H?13????2???tg??h3dh ?cos?02???tg3H4??0.1?16?0.54?0.63???39.6Nm ?34?cos?10?0.857?21-9．一封闭容器盛有水或油，在地球上静止时，其单位质量力为若干？当封闭容器从空中自由下落时，其

单位质量力又为若干？ [解] 在地球上静止时：

fx?fy?0；fz??g

自由下落时：

fx?fy?0；fz??g?g?0

第二章 流体静力学

2-1．一密闭盛水容器如图所示，U形测压计液面高于容器内液面h=1.5m，求容器液面的相对压强。

[解] ?p0?pa??gh

?pe?p0?pa??gh?1000?9.807?1.5?14.7kPa

2-2．密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa。压力表中心比A点高0.5m，A点在液面下1.5m。求液面的绝对压强和相对压强。

[解] pA?p表?0.5?g

p0?pA?1.5?g?p表??g?4900?1000?9.8??4900Pa ??p0?pa??4900?98000?93100Pa p02-3．多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m。试求水面的绝对压强pabs。

[解] p0??水g(3.0?1.4)??汞g(2.5?1.4)??水g(2.5?1.2)?pa??汞g(2.3?1.2)

p0?1.6?水g?1.1?汞g?1.3?水g?pa?1.1?汞g

p0?pa?2.2?汞g?2.9?水g?98000?2.2?13.6?103?9.8?2.9?103?9.8?362.8kPa

2-4． 水管A、B两点高差h1=0.2m，U形压差计中水银液面高差h2=0.2m。试求A、B两点的压强差。（22.736N

2 ／m）

[解] ?pA??水g(h1?h2)?pB??水银gh2

?pA?pB??水银gh2??水g(h1?h2)?13.6?103?9.8?0.2?103?9.8?(0.2?0.2)?22736Pa

2-5．水车的水箱长3m,高1.8m，盛水深1.2m，以等加速度向前平驶，为使水不溢出，加速度a的允许值是多少？

[解] 坐标原点取在液面中心，则自由液面方程为： z0??ax gl??1.5m时，z0?1.8?1.2?0.6m，此时水不溢出 2gz9.8?0.6 ?a??0???3.92m/s2

x?1.5 当x??2-6．矩形平板闸门AB一侧挡水。已知长l=2m，宽b=1m，形心点水深hc=2m，倾角?=45，闸门上

缘A处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。

[解] 作用在闸门上的总压力：

P?pcA??ghc?A?1000?9.8?2?2?1?39200N

1?1?23J2作用点位置：yD?yc?c??12?2.946m ?2ycAsin45?2?1?sin45hl22?yA?c????1.828m ?sin?2sin452?T?lcos45??P(yD?yA)

P(yD?yA)39200?(2.946?1.828)??30.99kN

lcos45?2?cos45?2-7．图示绕铰链O转动的倾角?=60°的自动开启式矩形闸门，当闸门左侧水深h1=2m，右侧水深h2=0.4m

T?时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离x。

[解] 左侧水作用于闸门的压力：

Fp1??ghc1A1??gh1h1??b 2sin60? 右侧水作用于闸门的压力：

h2h2??b ?2sin601h11h2?Fp1(x?)?F(x?) p2??3sin603sin60hh11h1h2h21h2??g1?b(x?)??g?b(x?)

2sin60?3sin60?2sin60?3sin60?1h11h22?h12(x?)?h(x?) 2??3sin603sin601210.42?22?(x?)?0.4?(x?) ??3sin603sin60Fp2??ghc2A2??g?x?0.795m

2-8．一扇形闸门如图所示，宽度b=1.0m，圆心角?=45°，闸门挡水深h=3m，试求水对闸门的作用力及

方向

[解] 水平分力：

h3.0Fpx??ghcAx??g?h?b?1000?9.81??3?44.145kN

22 压力体体积：

V?[h(h12?h2?h)?h]?()sin45?28sin45?312?32 ?[3?(?3)??3]?()??sin4528sin45?1.1629m3 铅垂分力：

Fpz??gV?1000?9.81?1.1629?11.41kN

合力：

22Fp?Fpx?Fpz?44.1452?11.412?45.595kN

方向：

??arctanFpzFpx?arctan11.41?14.5?

44.145332-9．如图所示容器，上层为空气，中层为?石油?8170Nm的石油，下层为?甘油?12550Nm

的甘油，试求：当测压管中的甘油表面高程为9.14m时压力表的读数。 [解] 设甘油密度为?1，石油密度为?2，做等压面1--1，则有

p1??1g(?9.14??3.66)?pG??2g(?7.62??3.66) 5.48?1g?pG?3.96?2g pG?5.48?1g?3.96?2g

GB 空 气 石 油9.14m7.623.6611 甘 油?12.25?5.48?8.17?3.96

?34.78kN/m2

1.52A2-10．某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m，高h1= 1m，铰接装置于距离底h2= 0.4m，闸门可绕A点转动，求闸门自动打开的水深h为多少米。 [解] 当hD?h?h2时，闸门自动开启

13bh1JCh11112 hD?hc??(h?)??h??h1hcA2212h?6(h?)bh12 将hD代入上述不等式

hh1Ah211h???h?0.4

212h?6

1?0.1

12h?64 得 h??m?

32-11．有一盛水的开口容器以的加速度3.6m/s2沿与水平面成30o夹角的斜面向上运动，试求容器中水面的倾角。

[解] 由液体平衡微分方程

dp??(fxdx?fydy?fzdz)

fx??acos300，fy?0，fz??(g?asin300)

在液面上为大气压，dp?0

?acos300dx?(g?asin300)dz?0

dzacos300??tan???0.269 dxg?asin300???150

2-12．如图所示盛水U形管，静止时，两支管水面距离管口均为h，当U形管绕OZ轴以等角速度ω旋转时，

求保持液体不溢出管口的最大角速度ωmax。

[解] 由液体质量守恒知，? 管液体上升高度与 ?? 管液体下降高度应相等，且两者液面同在一等压面上，满足等压面方程：

?2r22g?z?C

hzI?II液体不溢出，要求zI?zII?2h， 以r1?a,r2?b分别代入等压面方程得：

??2gh

a2?b2gh 22a?baa>bb??max?202-13．如图，??60，上部油深h1＝1.0m，下部水深h2＝2.0m，油的重度?=8.0kN/m3，求：平板ab单位

宽度上的流体静压力及其作用点。

[解] 合力

P??b1h11h2h2 ??油h1??h＋?h水2油12sin6002sin600sin600＝46.2kN作用点：

1h1P??h?4.62kN1油1 2sin600h1'?2.69m1h2P2??水h2?23.09kN0 2sin60'h2?0.77mh2?18.48kN sin600h3'?1.155mP3??油h1''''对B点取矩：Ph?Ph?Ph?Ph112233D'hD?1.115m'hD?3?hDsin600?2.03m 2-14．平面闸门AB倾斜放置，已知α＝45°，门宽b＝1m，水深H1＝3m，H2＝2m，求闸门所受水静压力的大小及作用点。 Ah145°B[解] 闸门左侧水压力： h2 P1?作用点： 1h13?gh1?1b??1000?9.807?3??1?62.41kN 2sin?2sin45?h13??1.414m ?3sin?3sin45h1'?闸门右侧水压力：

P2?作用点：

'h2?1h12?gh2?2b??1000?9.8?2??1?27.74kN 2sin?2sin45?h22??0.943m ?3sin?3sin45 总压力大小：P?P1?P2?62.41?27.74?34.67kN

对B点取矩：

'''P1h1?P2h2?PhD

'62.41?1.414?27.74?0.943?34.67hD

'hD?1.79m 2-15．如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R＝2m，容器内充满水，顶盖上距中心为r0处开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当r0多少时，顶盖所受的水的总压力为零。 [解] 液体作等加速度旋转时，压强分布为 p??g(Or0R?2r22g?z)?C 积分常数C由边界条件确定：设坐标原点放在顶盖的中心，则当r?r0，z?0时，p?pa（大

气压），于是， p?pa??g[?22g(r2?r02)?z]

在顶盖下表面，z?0，此时压强为

p?pa?R1??2(r2?r02) 2 顶盖下表面受到的液体压强是p，上表面受到的是大气压强是pa，总的压力为零，即

?0R12(p?pa)2?rdr????(r2?r02)2?rdr?0

02 积分上式，得 r0?212R?2m R，r0?222-16．已知曲面AB为半圆柱面，宽度为1m，D=3m，试求AB柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力Pz 。 [解] 水平方向压强分布图和压力体如图所示： 11?D?3Px??gD2b??g??b??gD2b 22?2?83??9810?32?1?33109N 81????Pz??g?D2?b??gD2b 4?416?2?9810?3.142?3?1?17327N 1614h时，闸门可自动打开。 152-17．图示一矩形闸门，已知a及h，求证H>a?

[证明] 形心坐标zc?hc?H?(a? 则压力中心的坐标为

2hhh)??H?a? 5210JczcAzD?hD?zc?Jc?1Bh3;A?Bh 12hh2zD?(H?a?)?1012(H?a?h/10)当H?a?zD，闸门自动打开，即H?a?14h 15

第三章 流体动力学基础

3-1．检验ux?2x2?y, uy?2y2?z, uz??4(x?y)z?xy不可压缩流体运动是否存在？ [解]（1）不可压缩流体连续方程

?ux?uy?uz???0 ?x?y?z（2）方程左面项

?uy?ux?u?4y；z??4(x?y) ?4x；?y?x?z（2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流体连续方程，故运动存在。

3-2．某速度场可表示为ux?x?t；uy??y?t；uz?0，试求：（1）加速度；（2）流线；（3）t= 0时通过x=-1，y=1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？ [解] （1）ax?1?x?t

ay?1?y?t 写成矢量即 a?(1?x?t)i?(1?y?t)j

az?0

（2）二维流动，由

dxdy?，积分得流线：ln(x?t)??ln(y?t)?C1 uxuy即 (x?t)(y?t)?C2

（3）t?0,x??1,y?1，代入得流线中常数C2??1

流线方程：xy??1 ，该流线为二次曲线

（4）不可压缩流体连续方程：

?ux?uy?uz???0 ?x?y?z?uy?ux?u?1,??1,z?0，故方程满足。 已知：?x?y?z333-3．已知流速场u?(4x?2y?xy)i?(3x?y?z)j，试问：（1）点（1，1，2）的加速度是多少？（2）

是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？ [解]

ux?4x3?2y?xyuy?3x?y3?zuz?0

ax?dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzxdt?t?x?y?z

?0?(4x3?2y?xy)(12x2?y)?(3x?y3?z)(2?x)?0代入（1，1，2）

?ax?0?(4?2?1)(12?1)?(3?1?2)(2?1)?0?ax?103同理：

?ay?9

因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是a?103i?9j

（2）运动要素是三个坐标的函数，属于三元流动 （3）

???u?0，属于恒定流动 ?t（4）由于迁移加速度不等于0，属于非均匀流。

3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？

[解] 由题意qV?v?D24?0.15??4?0.022?0.047?10?3m3/s?0.047L/s

7v2?0.98v1；v3?0.982v1；······；v8?0.98v1

qV??d24(v1?0.98v1?0.98v1???0.98v1)?27?d24v1Sn

式中Sn为括号中的等比级数的n项和。

由于首项a1=1，公比q=0.98，项数n=8。于是

a1(1?qn)1?0.988Sn???7.462

1?q1?0.984qV14?0.047?10?3v1?2??8.04m/s 2?dSn??0.001?7.462v8?0.987v1?0.987?8.04?6.98m/s

3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速按抛物线方程：u?umax[1?(r2)]对称分布，式中管道r0半径r0=3cm，管轴上最大流速umax=0.15m/s，试求总流量Q与断面平均流速v。

r0r2Q?udA?u[1?([解] 总流量：?A?0maxr0)]2?rdr

??2umaxr02??2?0.15?0.032?2.12?10?4m3/s umaxr02?断面平均流速：v?Q?222?r0?r0?umax?0.075m/s 23-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d=200mm，测得水银差压计读书hp=60mm，若此时断面平均流速v=0.84umax，这里umax为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速，问输水管中的流量Q为多大？（3.85m/s）

[解] ?2pAuAp?? ?g2g?g2uApp????A?(?1)hp?12.6hp 2g?g?g??uA?2g?12.6hp?2?9.807?12.6?0.06?3.85m/s Q??4d2v??4?0.22?0.84?3.85?0.102m3/s

3-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm，dB=400mm，A点相对压强

pA=68.6kPa，B点相对压强pB=39.2kPa，B点的断面平均流速vB=1m/s，A、B两点高差△z=1.2m。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失hw。

[解] ??42dAvA??42dBvB

2dB4002 ?vA?2vB?()?1?4m/s

dA200 假定流动方向为A→B，则根据伯努利方程

22pA?AvApB?BvBzA???zB???hw

?g2g?g2g其中zB?zA??z，取?A??B?1.0

22pA?pBvA?vB?hw????z

?g2g68600?3920042?12???1.2

98072?9.807?2.56m?0

故假定正确。

3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45o，如图所示。已知管径d1=200mm，d2=100mm，两断面的间距l=2m。若1-1断面处的流速v1=2m/s，水银差压计读数hp=20cm，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失hw和压强差p1-p2。

[解] ??4d12v1??42d2v2

d122002 ?v2?2v1?()?2?8m/s

d2100假定流动方向为1→2，则根据伯努利方程

2p1?1v12p2?2v2???lsin45???hw ?g2g?g2g其中

p1?p2???lsin45??(?1)hp?12.6hp，取?1??2?1.0 ?g?2v12?v24?64?hw?12.6hp??12.6?0.2???0.54m?0

2g2?9.807 故假定不正确，流动方向为2→1。

由

p1?p2???lsin45??(?1)hp?12.6hp ?g?得 p1?p2??g(12.6hp?lsin45)

??9807?(12.6?0.2?2sin45?)?38.58kPa

3-9．试证明变截面管道中的连续性微分方程为

??1?(?uA)??0，这里s为沿程坐标。 ?tA?s[证明] 取一微段ds，单位时间沿s方向流进、流出控制体的流体质量差△ms为

?ms?(??1??1?u1?A1??1?u1?Ads)(u?ds)(A?ds)?(??ds)(u?ds)(A?ds)2?s2?s2?s2?s2?s2?s?(?uA)??(略去高阶项)?s因密度变化引起质量差为 ?m????Ads ?t 由于?ms??m?

???(?uA)Ads??ds?t?s

??1?(?uA)???0?tA?s3-10．为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计，管道直径d1=200mm，流量计喉管直径d2=100mm，

3

石油密度ρ=850kg/m，流量计流量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数hp=150mm。问此时管中流量Q多大？

[解] 根据文丘里流量计公式得

3.14?0.222g2?9.8070.1394K?4???0.036 3.873d0.2(1)4?1()4?1d20.1qV??K(?d12??13.6?1)hp?0.95?0.036?(?1)?0.15 ?0.85?0.0513m3/s?51.3L/s3-11．离心式通风机用集流器A从大气中吸入空气。直径d=200mm处，接一根细玻璃管，管的下端插入

3

水槽中。已知管中的水上升H=150mm，求每秒钟吸入的空气量Q。空气的密度ρ为1.29kg/m。

[解] p2??水gh?pa?p2?pa??水gh

2pa??水ghv22papap2v20??0?0??????气g?气g2g?气g?气g2g??2g?水v22?9.807?1000?0.15?水h?v2?h??47.757m/s2g?气?气1.29?d22

3.14?0.22?47.757qV?v2??1.5m3/s

443-12．已知图示水平管路中的流量qV=2.5L/s，直径d1=50mm，d2=25mm，，压力表读数为9807Pa，若水头

损失忽略不计，试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度h。

[解]

4qV4?2.5?10?3qV?v1?v2?v1?2??1.273m/s244?d13.14?0.05v2?2?d12?d224qV4?2.5?10??5.093m/s22?d23.14?0.02522?3

p?pav2p?(pa?p2)v2?v1pv0?1?1?0?2??1??g2g?g2g?g2g22222

?pa?p2v2?v1p5.093?1.2739807??1???0.2398mH2O?g2g?g2g1000?9.807pa?p2?0.2398mH2O ?gp2??gh?pa?h?3-13．水平方向射流，流量Q=36L/s，流速v=30m/s，受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡，截去流量Q1=12 L/s，并引起射流其余部分偏转，不计射流在平板上的阻力，试求射流的偏转角及对平板的作用力。（30°；456.6kN）

[解] 取射流分成三股的地方为控制体，取x轴向右为正向，取y轴向上为正向，列水平即x方向的动量方程，可得：

?F???qV2v2cos???qVv0

y方向的动量方程：

0??qV2v2sin???qV1v1?qV2v2sin??qV1v1?sin?????30?不计重力影响的伯努利方程：

qV1v112v0??0.5qV2v224v0

p?12?v?C 2控制体的过流截面的压强都等于当地大气压pa，因此，v0=v1=v2

?F??1000?24?10?3?30cos??1000?36?10?3?30 ??F???456.5N?F??456.5N3-14．如图（俯视图）所示，水自喷嘴射向一与其交角成60o的光滑平板。若喷嘴出口直径d=25mm，喷射流量Q=33.4L/s，，试求射流沿平板的分流流量Q1、Q2以及射流对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计。

[解] v0=v1=v2

4Q4?33.4?10?3v0?2??68.076m/s

?d3.14?0.0252x方向的动量方程：

0??Q1v1??Q2(?v2)??Qv0cos60??Q1?Q2?Qcos60??Q?Q2?Q2?0.5Q?Q2?0.25Q?8.35L/s?Q1?Q?Q2?0.75Q?25.05L/sy方向的动量方程：

F??0??Q(?v0sin60?)

?F???Qv0sin60??1969.12N3-15．图示嵌入支座内的一段输水管，其直径从d1=1500mm变化到d2=1000mm。若管道通过流量qV=1.8m3/s时，支座前截面形心处的相对压强为392kPa，试求渐变段支座所受的轴向力F。不计水头损失。

[解] 由连续性方程：

v1?v244

4qV4qV4?1.84?1.8?v1?2??1.02m/s；v2?2??2.29m/s?d13.14?1.52?d23.14?1.02伯努利方程：

qV??d12?d22pvpv0?1?1?0?2?2?g2g?g2g?p2?p1???动量方程：

22v1?v21.02?2.29?392?103?1000??389.898kPa2222

22Fp1?F??Fp2??qV(v2?v1)?p1?d12443.14?1.523.14?1.0233?392?10??F??389.898?10??1000?1.8?(2.29?1.02)

44?F??692721.18?306225.17?2286?F??382.21kN3-16．在水平放置的输水管道中，有一个转角??45的变直径弯头如图所示，已知上游管道直径

0?F??p2?d22??qV(v2?v1)d1?600mm，下游管道直径d2?300mm，流量qV?0.425m3/s，压强p1?140kPa，求水流对这段

弯头的作用力，不计损失。

[解] （1）用连续性方程计算vA和vB

v1?4qV4?0.4254Q4?0.425??1.5v???6.02m/s m/s； 22πd12π?0.62πd2π?0..32（2）用能量方程式计算p2

2v12v2?0.115m；?1.849m 2g2g2?v12v2?2

p2?p1??g????140?9.81?(0.115?1.849)?122.98 kN/m

?2g2g?（3）将流段1-2做为隔离体取出，建立图示坐标系，弯管对流体的作用力R的分力为RX和RY，列出x和y两个坐标方向的动量方程式，得

?p2p1?42d2cos45??Fy??Q(v2cos45??0)

?4d12?p2?42d2cos45??Fx??Q(v2cos45??v1)

将本题中的数据代入：

Fx?p1Fy?p2?4d12?p2?42d2cos45???qV(v2cos45??v1)=32.27kN

?42d2cos45???qVv2cos45?=7.95 kN

F?Fx2?Fy2?33.23kN

??tan?1FyFx?13.830

水流对弯管的作用力F大小与F相等，方向与F相反。

3-17．带胸墙的闸孔泄流如图所示。已知孔宽B=3m，孔高h=2m，闸前水深H=4.5m，泄流量qV=45m3/s，闸前水平，试求水流作用在闸孔胸墙上的水平推力F，并与按静压分布计算的结果进行比较。

[解] 由连续性方程：

qV?BHv1?Bhv2 qV4545?v1???3.33m/s；v2??7.5m/sBH3?4.53?2动量方程：

Fp1?Fp2?F???qV(v2?v1)??F???Fp1?Fp2??qV(v2?v1)11 ??F????gH2B??gh2B??qV(v2?v1)221??F???1000?9.807?3?(22?4.52)?1000?45(7.5?3.33)2??F??F??51.4kN(?) 按静压强分布计算

F?11?g(H?h)2B??1000?9.807?(4.5?2)2?3?91.94kN?F??51.4kN 223-18．如图所示，在河道上修筑一大坝。已知坝址河段断面近似为矩形，单宽流量qV=14m3/s，上游水深h1=5m，

试验求下游水深h2及水流作用在单宽坝上的水平力F。假定摩擦阻力与水头损失可忽略不计。

[解] 由连续性方程：

qV?Bh1v1?Bh2v2?v1?qV1414

??2.8m/s；v2?Bh15h222由伯努利方程：

vv22h1?0?1?h2?0?2?v2?2g(h1?h2)?v12g2g14?()2?2?9.807(5?h2)?2.82

h2?h2?1.63m由动量方程：

Fp1?Fp2?F???qV(v2?v1)11?gh12??gh22?F???qV(v2?v1)221 ??F???qV(v2?v1)? ?g(h12?h22)2141??F??1000?14?(?2.8)??1000?9.807?(52?1.632)1.632??F??F??28.5kN?4-2 用式（4-3）证明压强差△p、管径d、重力加速度g三个物理量是互相独立的。 解： dim?p = ML?1T?2 dimd = L dimg = LT?2

将?p、d、g的量纲幂指数代入幂指数行列式得

1?1?200110 = -2 ? 0

?2因为量纲幂指数行列式不为零，故?p、d、g三者独立。

4-4 用量纲分析法，证明离心力公式为F= kWv2 / r。式中，F为离心力；M为作圆周运动物体的质量；?为该物体的速度；d为半径；k为由实验确定的常数。 解：设F?kM?r MLT??2????????MLT L 据量纲一致性原则求指数?、?、?： M： 1 = ?

L ： 1 = ???

? = 1

? = 2

T： -2 = -? ? = -1

M?2故 F?k

r4-6 有压管道流动的管壁面切应力?w，与流动速度?、管径D、动力粘度?和流体密度?有关，试用量纲分析法推导切应力?w的表达式。

解：选?、D、?为基本量，故可组成两个?数，即

?(?1,?2) = 0

其中，??1??1 = ?D1?1?w ??2??22 = ?D2?? 求出两个?数

MOLOTO = L?1T??1L?1M?1L?3?1ML?1T?2

M： 0 = ?1 + 1 L：0 = ?1??1?3?1?1

T：0 = -?1?2

得 ?w1????D 同理可得

??2??R?1??De

?1??2 ?1?0

?1??1 2将?w解出得?w????1(Re)

4-7 一直径为 d、密度为?1的固体颗粒，在密度为?、动力粘度为?的流体中静止自由沉降，其沉降速度??f(d,?,?p,?,g)，其中g为重力加速度，????1-?为颗粒与流体密度之差。试用量纲分析法，证明固体颗粒沉降速度由下式表示：

??dg(?1?d??1)f1() ??解：选?、d、?为基本量，故可组成3个?数，即?(?1,?2,?3)?0 其中，?1??1d1?1g ?2??2d???2??????

23p ?3??3d3????求解各?数， MLT?L1T

000?1?1?1?3?1?21L?MLLT

??L:0????1?3?1?1? ?T:0???1?2?即 ?1?对于?2，

M:0??1??1??2???1?1 ???0?1gd?2

M0L0T0?L?2T??2L?2M?2L?3?2ML?1T?1

??L:0??2??2?3?2?1?

?T:0???2?1?

M:0??2?1??2??1???2??1 ????1?2即 ?2???d?

对于?3，

M0L0T0?L?3T??3L?3M?3L?3?3ML?3

??L:0??3??3?3?3?3?

?T:0???3?即 ?3?M:0??3?1??3?0? ??3?0

????1?3?p?

故?(gd?2,??d??,?p)=0

化简整理，解出?

??11??2gd??(?p?,Re)

又?与?p成正比，将

?p?提出，则

?2gd??p??2(Re)

??gd?p??3(Re)?gd(?1?1)?3(Re) ?4-8 设螺旋浆推进器的牵引力F取决于它的直径D、前进速度?、流体密度?、粘度?和螺旋浆转速度n。证明牵引力可用下式表示：

F??d2?2?(Re,解：由题意知，f(?,?,D,F,?,n)?0 选?,?,D为基本量，故可组成3个?数，即

nd?)

?(?1,?2,?3)?0

其中，?1??1?1D1F

???M0L0T0?M?1L?3?L?1T??1L?1MLT?2

??L:0??3?1??1??1?1?

?T:0???1?2?即 ?1?M:0??1?1??1??1???1??2 ????2?1F

??2D2???对于?2??2?2D2?

M0L0T0?M?2L?3?2L?2T??2L?2ML?1T?1

??L:0??3?2??2??2?1?

?T:0???2?1?

M:0??2?1??2??1???2??1 ????1?2即?2?? ??D???对于?3??3?3D3n

M0L0TO?M?3L?3?2L?3T??3L?3T?1

??L:0??3?3??3??3?

?T:0???3?1?即?3?M:0??3??3?0???3??1 ???1?3nd?

故?(F?nd,,)?0 22??D??D?就F解出得

F???2D2?1(?ndnd,)???2D2?2(Re,) ??D??4-10 溢水堰模型设计比例Cl=20，当在模型上测得流量为Qm?300L/s时，水流对堰体的推力为

F?300N，求实际流量和推力。

解：堰坎溢流受重力控制，由弗劳德准则，有CQ?Cl2.5， 由Qp?Cl2.5Qm = 202.5?300?536656.3 l/s = 536.7 m3/s

CF?C?Cl2C?2

而C??1

223所以，CF?ClC??Cl

即 Fp?FmCl3?300?20?32400N0?00 00kN244-13 将高hp?1.5m，最大速度?p?108km/h的汽车，用模型在风洞中实验（如图所示）以确定空气阻力。风洞中最大吹风速度为45 m/s。 （1）为了保证粘性相似，模型尺寸应为多大？

（2）在最大吹风速度时，模型所受到的阻力为14.7N,求汽车在最大运动速度时所受的空气阻力（假设空气对原型、模型的物理特性一致）。 解：（1）因原型与模型介质相同，即C??1

故由Re准则有 Cl?1?m45???1.5 3C??p108?103600所以，hm?hpCl?1.5?1 m 1.52222（2）CFP?C?ClC?，又C??1,ClC??1，所以CFP?1

即FPP?FPM?14.7N

4-14 某一飞行物以36m/s的速度在空气中作匀速直线运动，为了研究飞行物的运动阻力，用一个尺寸缩小一半的模型在温度为15℃的水中实验，模型的运动速度应为多少？若测得模型的运动阻力为1450 N，原型受到的阻力是多少？已知空气的动力粘度??1.85?10N?s/m，空气密度为1.20kg/m。

?523解：由Re准则有

C?Cl?1 C?即C??C? Cl?1.542?10?5?Cl?2,C????13.51

?0.0114?10?4()m?()p所以 ?m??pC???pCl36?2??5.33 m/s C?13.5122222（2）CF?C?ClC??C?ClC?/Cl?C?C?

2FPP?FPMC?C?2?1450?

1.2?13.512?318N 10005-2 有一矩形断面小排水沟，水深h?15cm，底宽b?20cm,流速??0.15m/s,水温为15℃，试判别其流态。

解：A?bh?20?15300 cm

??b?2h?20?2?15?50 cm，R?2A300??6 cm X50??0.017752cm/s ?0.0114 21?0.0337?15?0.000221?15Re?

?R15?6??7895> 575，属于紊流 ?0.01145-3 温度为t?20℃的水，以Q?4000cm/s的流量通过直径为d?10cm的水管，试判别其流态。如果保持管内液体为层流运动，流量应受怎样的限制？ 解：由式（1-7）算得t?20℃时，??0.0101 cm/s （1）判别流态 因为 ??23Q()d24??4000()?1024??51 cm/s

所以

Re??d51?10??50495?2300 ，属于紊流 ?0.0101（2）要使管内液体作层流运动，则需

Re??d?2300 ?2300?2300?0.0101??2.323 cm/s d10即 ??Q?

?4d??4?102?2.32?182.4 cm3/s

5-4 有一均匀流管路，长l?100m，直径d?0.2m，水流的水力坡度J?0.008,求管壁处和r?0.05m处的切应力及水头损失。 解：因为R?d0.2??0.05 m 442所以在管壁处： ???RJ?9800?0.05?0.008?3.92 N/m

r?0.05 m处： ??r0.05???1.96 N/m2 r0.9?3.92水头损失：hf?Jl?0.008?100?0.8 m

5-5 输油管管径d?150mm,输送油量Q?15.5t/h，求油管管轴上的流速umax和1km长的沿程水头损

23失。已知?油?8.43kN/m，?油?0.2cm/s。

解：（1）判别流态 将油量Q换成体积流量Q

Q?Qm?油Q?Qg?油?15.5?103?9.83m/s ??0.00538.43?10?36000.005?0.283 m/s

??(d2)4

??4?0.152Re??d0.283?0.15??2122?2300，属于层流 ?4?0.2?10（2）由层流的性质可知

umax?2??0.566 m/s

64l?26410000.283（3）hf?????0.822 m

Red2g21220.152?9.85-6 油以流量Q?7.7cm/s,通过直径d?6mm的细管，在l?2m长的管段两端接水银差压计，差压计

33读数h?18cm，水银的容重?汞?133.38kN/m，油的容重?油?8.43kN/m。求油的运动粘度。

3解：列1-2断面能量方程

0?p1?油??1?122g?0?p2?油??2?222g?hf

取?1??2?1.0,?1??2（均匀流），则

hf?p1?p2?油?(?汞133.38?1)h?(?1)?18?266.8 cm ?油8.43假定管中流态为层流，则有

64l?2hf??266.8 cm

Red2g因为??Q?4?d27.7?4?27.23 cm/s

??0.6264l?26420027.232Re?????30.3?2300 属于层流

hfd2g266.80.62?9.8所以，???dRe?27.23?0.6?0.54 cm2/s

30.3

cm2/s的水，实测其流量Q?35cm/s，长15m管段上水头损失5-7 在管内通过运动粘度??0.0133hf?2cmH2O，求该圆管的内径。

64l?2512lQ2解：设管中流态为层流，则hf? ?23Red2gRe?gd而Re?

?d4Q?,代入上式得 ??d?512lQ?4512?15?102?35?0.013d?4??1.94 cm

4?hfg4???2?980

验算：Re?4Q4?35??1766?2300， 属于层流 3??1.94?0.93?d?故假设正确。

5-9 半径r?150mm的输水管在水温t?15℃下进行实验，所得数据为

?水?999.1kg/m3，

?水?0.001139Ns/m2，??3.0m/s,??0.015。

（1）求管壁处、r?0.5r处、r?0处的切应力。

（2）如流速分布曲线在r?r处的速度梯度为 4.34 l/s，求该点的粘性切应力与紊流附加切应力。 （3）求r?0.5r处的混合长度及无量纲常数k如果令???，则k?？

解：（1）????水?280.015?999.1?32??16.86 N/m2

8?0.5r?r??0.5??8.43 N/m2 r?r?0?0

（2）?粘??水dudy?0.001139?4.34?0.0049 N/m2

r?0.5r?紊??0.5r??粘?8.43?0.0049?8.43 N/m2

2（3）?紊??水l(du) dy所以 l??紊?(du2)dy?8.43?0.02121 m= 2.12 cm

999.1?4.342又l?ky?0.5r?2.12?0.283

0.5?15若采用?紊?? ， 则

l???(du2)dy?16.86?0.0299 m 2999.1?4.34

k?l2.99??0.4 0.5r0.5?15

5-10 圆管直径d?15cm，通过该管道的水的速度??1.5m/s，水温t?18℃。若已知??0.03，试求粘性底层厚度?l。如果水的流速提高至2.0m/s，如何变化？如水的流速不变，管径增大到30cm，?l又如何变化？

解：t?18℃时，??0.0106 cm/s

2?d1.5?102?15??212264 （1）Re??0.0105?l?32.8d32.8?15??0.0134 cm Re?212260.032.0?102?15?283019 （2）Re?0.010632.8?152930190.03?l??0.01 cm

1.5?102?30?424528 （3）Re?0.010632.8?304245280.03?l?

?0.0134 cm

5-12 铸铁输水管长l=1000m，内径d?300mm，通过流量Q?100L/s，试按公式计算水温为10℃、15℃两种情况下的?及水头损失hf。又如水管水平放置，水管始末端压强降落为多少？

解： ??Q?4?2100?10?3?4d??0.32?1.415m/s

(1)t=10℃ 时，符合舍维列夫公式条件，因??1.2 m/s，故由式（5-39）有 ??0.021d3?0.0210.30.3?0.0301

l?210001.4152hf???0.0301???10.25m

d2g0.32?9.8?p??hf?9800?10.25?100.5 kN/m2

(2)t=15℃时，由式（1-7）得

??0.017751?0.0337?15?0.000221?152?0.01141cm2/s

Re?141.5?30?372042

0.01141

由表5-1查得当量粗糙高度??1.3mm, 则由式（5-41）得，

??0.11?(??d680.251.3680.25)?0.11?(?)?0.0285 Re3003720422hf?1.4150.0285?1000?0.32?9.8?9.7m

?p??hf?9800?9.7?95.1 kN/m2

5-13 城市给水干管某处的水压p?196.2kPa，从此处引出一根水平输水管，直径d?250mm，当量粗糙高度?=0.4mm。如果要保证通过流量Q?50L/s，问能送到多远？（水温t?25℃）

0.017751?0.0337?25?0.000221?252?0.00896cm2/s

解： t=25℃时，??

?4Q4?50?103Re?d????25?0.00596?284205

由式（5-41）得，

??0.11?(?68d?R)0.25?0.11?(0.4?68)0.25?0.0228 e250284205??4Q4?50?10?3?d2???0.252?1.02 m/s

又hp19.62?f??g?1049800?20.02m l?2由达西公式hf??d2g得

l?2ghfd?9.8?20.02?0.25??2?20.0228?1.022?4135.5m

5-14 一输水管长l?1000m，内径d?300mm,管壁当量粗糙高度??1.2mm，??0.013cm2/s，试求当水头损失hf?7.05m时所通过的流量。

解：t=10℃时，由式（1-6）计算得??0.0131cm2/s，假定管中流态为紊流过渡区 R?d?e???因为 ?? ?R2gdhfe?dh??l?2??l

f?d2g??

代入柯列勃洛克公式（5-35）得 1??2㏒(?2.51?3.7d? = -2㏒(

1.22.51?0.0131?)

d2gdh)f3.7?300?l302?980?30?705100000所以??0.0288

运动粘度

Q??4d22gdhf?l4Q??4?0.32?2?9.8?0.3?7.05?0.0848m3/s = 84.8 l/s

0.0288?1000检验： ???d2?4?0.0848??0.3?1.22?1.2 m/s

??????80.0288?0.072m/s 8 Re?????1.2?10?1?0.072?103??66

0.0131因为 5?Re??70,属于过渡区，故假定正确，计算有效。

5-16 混凝土排水管的水力半径R?0.5m。水均匀流动1km的水头损失为1 m,粗糙系数n?0.014，试计算管中流速。 解：水力坡度J?hfl1R6?10?3

10.561 谢才系数C?n?0.014?63.641 m2/s

代入谢才公式得

??CRJ?63.640.5?10?3?1.423m/s

5-20流速由?1变为?2的突然扩大管，如分为二次扩大，中间流取何值时局部水头损失最小，此时水头损失为多少？并与一次扩大时的水头损失比较。 解：一次扩大时的局部水头损失为：

(?1??2)2?

2ghm1分两次扩大的总局部水头损失为：

(?1??)2(???2)2??

2g2ghm2在?1、?2已确定的条件下，求产生最小hm2的?值: dhm2?0 ?(?1??)?(???2)?0 d????1??22

即当???1??22时，局部水头损失最小，此时水头损失为

hm2min?1(?1??2)2 4g

(?1??2)2hm12g??2 hm2(?1??2)24g由此可见，分两次扩大可减小一半的局部水头损失。

5-21 水从封闭容器A沿直径d?25mm，长度l?10m的管道流入容器B。若容器A水面的相对压强p1为2个工程大气压，H1?1m,H2?5m，局部阻力系数?进?0.5,?阀?4.0,?弯?0.3，沿程阻力系数

??0.025，求流量Q。

解：取0?0基准面，列1?2断面能量方程

pl?2H1??0?H2?0?0?(???进??阀?3?弯??出)

?gd2g所以，

???=

11l??进??阀?3?弯??出d2g(H1?H2?p)??g10.025?10?0.5?4?3?0.3?00.0252?9.8(1?5?2?98000) 9800164?313.6

= 4.37 m/s

Q=

?4d2???4?0.0252?4.37?2.15?10?3m3/s=2.15l/s

5-22 自水池中引出一根具有三段不同直径的水管如图所示。已知d?50mm，D?200mm,l?100m，

H?12m，局部阻力系数?进?0.5,?阀?5.0,沿程阻力系数??0.03,求管中通过的流量并绘出总水头

线与测压管水头线。

解：取0?0基准面，则1?2断面方程得

??22gH?0?0?0?0??hw

2.5l?2l?12.5d4?2?2????l(?5)?150.1? hf?? d2gD2gd2g2gDdD2 ?1?()2?

?22ghm?(?进??阀??突扩??突缩)

其中，?突扩Ad2d22?(1?)?(1?2)?0.829

ADD ?突缩?0.5(1?d2D2)?0.469

? hm?(0.5?5?0.879?0.469)?22g?6.85?2g

hw?hf?hw?(150.1?6.85)?22g?156.95?22g

? ??2gH???156.952?9.8?12?1.22m/s

1?156.95Q??4d2???4?0.052?1.22?2.4 l/s

5-23 图中l?75cm，d?2.5cm,??3.0m/s,??0.020,?进?0.5，计算水银差压计的水银面高差hp，并表示出水银面高差方向。 解：以0?0为基准面，据1?2

p2??2l?2?2H?0?0??????进

?g2gd2g2g又(H?

p2)?12.6hf ?g1l?2hp?(?????进)

12.6d2g1753.02 =(1?0.02??0.5)??0.0765m=7.65 cm

12.62.52?9.8

d2?15cm，p2?1.45-25 计算图中逐渐扩大管的局部阻力系数。已知d1?7.5cm，p1?0.7工程大气压，

工程大气压，l?150cm，流过的水量Q?56.6L/s。 解：以2?2断面为基准面，据1?2

p1?1?12p2?2?22l???0???hm ?g2g?g2g又， ?1?4Q?d12?4?56.6?10?3??0.0252?12.81m/s

?2?4Q?d22?4?56.6?10?3??0.152?3.2m/s

p1?p2?1?12?2?22??? hm?l? ?g2g2g(0.7?1.4)?980001.0?12.8121.0?3.22 = 1.5? ??98002?9.82?9.8 = 2.35m

(?1??2)2(12.81?3.2)2又 hm?????4.71?

2g2?9.8? ??hm?0.5 4.71