四、(8分)计算积分I???x3dydz?y2dzdx?zdxdy，?是柱面x2 + y2 = a2在0 ? z ? h部分外侧。
?22五、(8分)在抛物线?:z?x2?y2?1上求一点M0(x0,y0,z0)(x0?0,y0?0,x0?y0?1)使?在M0处
的切平面与柱面y?1?x2及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。
六、(8分)已知L是第一象限中从点(0, 0)沿圆周x2 + y2 = 2x到点(2, 0), 再沿圆周x2 + y2 = 4到点(0, 2)的曲线段。
计算曲线积分I??3xL2ydx?(x3?x?2y)dy。
七、(8分)
八、(6分)设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离成
正比(比例常数k > 0)，求球体对于P0的转动惯量。 答案：一、1．D； 2．B；3．D；A
x?3y?1z?4二、1．；2．??38?4三、1．解
?10dy?2?y21?1?yf(x,y)dx；3．2?a7；4．3
2?u?2xf1??ex?yf2?， ?x?u??2yf1??ex?yf2?。 ?y?2u?2x[f11(?2y)?f12ex?y]?ex?yf2??ex?y[f21(?2y)?f22ex?y] ?x?y ??4xyf11?2(x?y)ex?yf12?e2x?2yf22?ex?yf2 2．解
2= (2x?3y?z)d v????2????zdv
? =
?0d??rdr?20r112?r2zdz
= 2? =
124?02r[(2?r)?r]dr
7?。 123．解 ??(x?y?z)dS = ??(x?5)dS
?? =
x2?y2?25??(x?5)1?(?1)2dxdy
= 1252?
4．解 设所求平面方程为6x + y + 6z = D, 则
1DD|?D?|?1 666 |D| = 6
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故所求平面方程为6x + y + 6z = 6或6x + y + 6z = ?6。 5．
四、解 设?1：z = 0 (x2 + y2 ? a2)下侧；
?1：z = h (x2 + y2 ? a2)上侧
I? ????1??22(3x????2y?1)dxdydz????x3dydz?y2dzdx?zdxdy??1??2??x3dydz?y2dzdx?zdxdy
x2?y2?a2??0dxdy?x2?y2?a2??hdxdy
?x2?y2?a2??3xdxdy?dz????dxdydz??a2h
0?2h ?3h(x2?y2)dxdy??a2h??a2h ??2x2?y2?a2?a3h2?343d?rdr??ah ??0024五、解 过M0点的切平面方程为 2x0(x – x0) + 2y0(y – y0) – (z – z0) = 0
22即 2x0x?2y0y?z?x0?y0?1
立体的体积为 V? V???(2xx?2yy?x00D202?y0?1)dxdy D:x?0,y?0,x2?y2?1
2?22(x0?y0)?(x0?y0?1)。 342?2? Vx0???x0?0，Vy0???y0?0，
323244,)。 故所求的点为(3?3?六、解 补充L1：x = 0, y从2到0，由L和L1围成的平面区域记为D，由格林公式 I? ??DL?L13x2ydx?(x3?x?2y)dy??3x2ydx?(x3?x?2y)dy
L10)d y??dxdy??(?2y2 ??? ??2?4
?2?4
七、解 由题设an > an + 1，若liman?0，则交错级数
n???(?1)n?1?nan收敛，与题设矛盾，故
liman?l (l > 0).
n?? Page 10 of 18
?1?1由根值法，有limn???1， ?n???1?an?1?l故级数收敛。
八、解 以P0点为坐标原点，球心在z轴上建立坐标系，则球面方程为x2 + y2 + z2 = 2Rz. 转动惯量为 I?n???k(x?2?y?z)dxdydz
?2Rc?os2322 ?k?2?0d??2sin?d??00r3?r2dr
1? ?2?k?2sin?(R2c?o6sd?)
06 ?64k?R6 21高数试题 2013.07
一、选择题
????1．设a?(ax,ay,az)，b?(bx,by,bz)，则a//b的充要条件是[ ].
(A) ax?bx,ay?by,az?bz； (B) axbx?ayby?azbz?0；
a(C) ax?y?az； (D) ax?ay?az?bx?by?bz.
bxbybz2．设f(x,y)?x2?y2，则函数f (x, y)在原点（0，0）处[ ].
(A)连续且fx?(0,0),fy?(0,0)存在； (B) 连续且fx?(0,0),fy?(0,0)不存在；
(C) 不连续且fx?(0,0),fy?(0,0)存在； (D) 不连续且fx?(0,0),fy?(0,0)不存在。 3．设?是球面?:x2?y2?z2?R2所围成的闭区域，则下列结果正确的是[ ]. (A) (C)
2???(x?y?z)dv?0； (B) ?45； 222(x?y?z)dv??R???3?2?(x???(x?y?z)dv?0； (D) ?????y2?z2)dS?4?R2。
4．微分方程y ? + y = sinx的一个特解的形式为[ ]
(A) Axsinx；(B) Acosx?Bsinx；(C) Axcosx?Bsinx；(D) Axcosx?Bxsinx。
5．设f (u)连续可微，且?f(u)du?k?0，其中L为圆周y?2x?x2上从原点到点（2，0）的部分，则
04?Lf(x2?y2)(xdx?ydy)?[ ]
(A) 0； (B) 二、填空题
k； (C) k； (A) 2k. 2 Page 11 of 18
1．函数z = f (x, y)由方程2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z所确定，则dz = _______________. 2．交换积分次序
?10dy?1?yy?1f(x,y)dx为__________________.
L3．设L为圆周x = acost, y = asint (0 ? t ? 2?), 则?(x?y)2ds= _______________.
4．设平面薄板所占闭区域D由直线 x + y = 2，x = 2和y = 2围成 ，它在点(x, y)处的面密度为y2，则平面薄板的质量为____________。
5．微分方程y???10y??25y?0的通解是__________。 三、计算下列各题
2y?z?z?z。
1．已知z?f(xy,)，其中f具有二阶连续偏导数，求,,x?x?y?x?y2．一平面通过两平行直线3．计算区域。 4．求
x?3y?2zx?3y?4z?1??和??，求此平面方程。 3?213?21???(x?2?y2)dv，其中?是由yoz面上曲线y2?2x绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z = 8所围成的闭
??(2x??xyz4y?z)dS，式中?是平面???1在第一卦限 的部分。
234322四、(8分)计算积分I???(y2?xz)dydz?(z2?xy)dzdx?(x2?yz)dxdy，?是锥面z?x?y(0?z?h)的
?下侧。
五、(8分)求球面x2?y2?z2?a2的内接长方体，使长方体的体积最大。 六、(8分)一个体积为V，外表面积为S的雪堆，融化的速度是
dV??aS，其中a是正常数，假设在融化过dtx2?y2(z?0)，其中h = h (t), 问一个高度等于h0的雪堆全部融化消失需要多少程中雪堆的形状保持为z?h?h时间。
七、(4分) 设函数f (x)满足方程xf?(x)?3f(x)??6x2，且由曲线y = f (x)，直线x = 1与x轴围成的平面图
形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D的面积。
高等数学（下）2014年7月
一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
?1. 设向量a?(2,?2,?5)的起点坐标为(2,1,7)，则[ ]
（A）a的终点坐标为(4,?2,1)； （B）a的长度为6；
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