(A) y1?y2?y2?y1?0； (B) y1?y2?y2?y1?0； (C) y1?y2?y2?y1?0； (D) y1?y2?y2?y1?0．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
???????1. 已知|a|?1，|b|?2，a与b的夹角为，则|a?b|? 4222．设?是由曲面z?1?x?y与z = 0围成的立体，则?的形心坐标为
3. 设曲线?为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分4. 设?为锥面z??(x?y?z)ds=
?x2?y2被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分??zdS? ．
?x?05. 若方程y? + y tanx = ?2cos2x有一个特解y = f (x), 且f (0) = 0, 则lim三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）
f(x)?＿＿＿＿． x1．求过点M(?3,2,5)且与两平面x –4z = 3和2x – y – 5z = 1的交线垂直的平面方程.
2．求函数u = x2 + 3yz在点(1, 1, 1)处沿椭球面x2 + 2y2 + 3z2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。 3．计算二重积分
??ydxdy，其中D是由y = x – 4与y = 2x所围成的闭区域.
2
D4．如果y = f (x)满足?y?1?x2x?x2?x?o(?x)，且f (1) = 1, 求f (x)．
5．若? (x)连续，且满足方程?(x)?ex?题；(2)求? (x).
?x0t?(t)dt?x??(t)dt，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程初值问
0x四、 (8分)一质点在力F?(x2?y)i?(x?sin2y)j的作用下，由点O(0, 0)沿上半圆y???2x?x2移到点A(1,
?1)，求力F所作的功.
五、(8分)计算曲面积分围成立体的表面外侧.
2222
z?4?x?y，其中?是由抛物面3z =x + y 和球面所xzdydz?yzdzdx?xydxdy????2f六、(8分)设函数f (x, y)有二阶连续偏导数，满足?0，且存在一元函数h(u)，使f(x,y)?h(x2?y2)，求
?x?yf (x, y).
七、(5分)设F(x, y) = (f 1(x, y), f 2(x, y))是(x0, y0)某邻域内定义的向量函数，定义
||(f1(x,y),f2(x,y)||?f12(x,y)?f22(x,y)
为(f 1(x, y), f 2(x, y))的模， 如果||F(x0??x,y0??y)?F(x0,y0)?(A?x?B?y,C?x?D?y)||?o(?x2??y2)，其中A, B, C, D是与?x, ?y无关而仅与x0, y0有关，o(?x2??y2)是?x2??y2的高阶无穷小，则称F(x, y)在(x0, y0)点可微，记为
dF(x,y)|(x0,y0)?(A?x?B?y,C?x?D?y)
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y,x2?y2)，求dF(x,y)|(1,1)。 x32答案 一、1.A；2.C；3.B；4.D .二、1. 5；2. ；3. 614；4. 2?；5. ?2.
38设F(x,y)?(arctan三、1. 4x + 3y + z +1= 0; 2.
1714; 3.18 ; 4.
2x?x2; 5..
四、?71941?sin2. 五、?. 六、C1(x2?y2)?C2. 64272七、(??x??y,?x??y).
12高数试题 2011.07.14
一、选择题 1．设f(x,y)?x2?y4，则函数在原点偏导数存在的情况是[ ].
（A）fx?(0,0)，fy?(0,0)都存在 （B）fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)存在 （C）fx?(0,0)存在， fy?(0,0)不存在 （D）fx?(0,0)，fy?(0,0)都不存在 2．设平面? 的法向量为n?(A,B,C)，直线L的方向向量为s?(m,n,p)，则的垂直的[ ].
(A)充要条件； (B)充分条件； (C)必要条件； (D)无关条件. 3．设 ? 是球面x2 + y2 + z2 = R2，则下列结果正确的是[ ]. (A) (C) 4．
5．设曲线L:f(x,y)?1（f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是[ ]. （A）（C）
??ABC??是平面? 与直线Lmnp432； (B) dS??R； (x?y?z)dS?0????3????(x?2?y2?z2)dS?0； (D) ??(x2?y2?z2)dS?4?R4.
???Tf(x,y)dx （B）?f(x,y)dy
TTf(x,y)ds （D）?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy
T二、填空题
??????????1．设|a|?3，|b|?1，(a,b)?，则a?b在a?b上的投影为
62.交换积分次序
?dx?122x?x22?xf(x,y)dy为 ?0dy?2?y11?1?y2f(x,y)dx
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3. 设正向闭曲线L的方程为|x|?|y|?1，则4.
1ds= ?|x|?|y|?2L5．设函数z?z(x,y)由方程x?az??(y?bz)所确定，其中?(u)有连续导数，则a三、计算题
?z?z?b? ?x?y?2z1. 设z?f(u,x,y),u?xe，其中f具有二阶连续偏导数，求。
?x?yy?x?2z?12. 求曲面z?x?y的与直线?垂直的切平面。
y?2z?2?223.计算二重积分4.求
??Dy?xdxdy,其中D是由直线y?x,y?1，x?0所围成的平面区域.
2??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy，?是抛物面z?x??y2被平面z = 1截下的有限部分，法向量
与z轴正向成锐角。
?xy???y??2x3,5. 求解初值问题?
?y(1)?1,y?(1)?2,四、设球体占有闭区域?:x?y?z?2z，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z轴的转动惯量。
五、(8分)求抛物面 z?x2?y2 与平面 x?y?z?1 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离． 六、5．设f(x)是非负连续函数，且
222?20f(x)dx?1，计算曲线积分
?xdy?(y?eLx)dx，式中L为沿y?f(x)从点O(0,0)到A(2,0)的曲线段.
七、求y???3y??2y?sinx的通解.
答案
一、1.B, 2.A, 3.D, 4.C, 5.B. 二、1.2， 2. 2.
?10dy?1?1?y22?yf(x,y)dx, 3.
42, 4. ?2 + 2, 5. 1。 3?z?2zy?f1?e?f2， 三、1. ?f1?ey?xe2yf11?eyf13?xeyf21?f23 ?x?x?y4?x4x21?? 2. 2x?2y?z?2。 3. ， 4.? 5. y?152424四、
32?。 35 Page 7 of 18
五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为
15?10215?102 和 22． 六、3?e2
七、y?Cx2x31e?C2e?10cosx?110sinx
高数试题 2012.07.12
一、选择题
1．设? (x)为任意一个x的可微函数，? (y) 为任意一个y的可微函数，若已知?2F?2f?x?y??x?y，则F (x, y)是[ (A) f (x, y) + ? (x)； (B) f (x, y) + ? (y)；
(C) f (x, y) + ? (x) + ? (y)； (D) f (x, y) + ? (x)? (y). 2．在曲线x = t , y = ?t2, z = t3的所有切线中，与平面x + 2y + z = 4平行的切线[ ]. (A)只有1条； (B)只有2条； (C)至少3条； (D)不存在。 3．设f (x, y)是连续函数，D是由y = x2, y = 0, x = 1所围的区域，且f (x, y)满足恒等式 f(x,y)?xy???f(x,y)dxdy
D则f (x, y) = [ ]. (A)xy + 1； (B)xy?12； (C)xy?14； (D)xy?18。 4．
二、填空题
1．过点(3, ?1, ?4)且与y轴相交，又与平面y + 2z = 0平行的直线方程为_______________. 2．交换积分次序
?12x?x222?x0dx?0f(x,y)dy??1dx?0f(x,y)dy为__________________.
3．设L为圆周x = acost, y = asint (0 ? t ? 2?), 则?(x2L?y2)3ds= _______________.
4．
三、计算下列各题 1．已知u?f?x2?y2,ex?y?f具有二阶连续偏导数，求?u?2，其中u?x，?x?y。 2．计算
???(2x?3y?z)dv，?是半球面z?2?x2?y2和旋转抛物面z?x2?y2围成的立体。 ?3．求平行于平面6x + y + 6z + 5 = 0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。
?4．求解初值问题?dy?dt?ky。
??y|t?0?y0,5．求
??(x?y?z)dS，式中?是平面y + z = 5被柱面x2?y2?25所截得的有限部分。 ? Page 8 of 18
].