高数试题 2008.7
一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
?x?y?6,x?7y?2z?4??1.设直线l1:，l2:?则l1 与l2 的夹角为[ ]. 1?212y?z?3,?（A）
????；（B）；（C）；（D）. 23462233;(B);(C)?;(D). 22222.函数 z = xe2y在点P(1, 0)出沿从P(1, 0)到Q(2, ?1)方向的方向导数为[ ].
(A)?1?xysin,x2?y2?0,?22x?y3.函数f(x,y)??在(0, 0)点[ ].
?0,x2?y2?0,?(A) 偏导数连续；(B) 偏导数不存在； (C)偏导数存在但不可微； (D)可微但偏导数不连续。 4.积分
?10dx?xy2?x2dy?[ ].
x1(A)13(B)14(C)112(D)1。 245.设?是由x2 + y2 + z2 = 1所围成的区域，则三重积分
???e?|z|dv?[ ].
(A)?2；(B)?；(C)3?；(D)2?. 2二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是
222??x?y?z?4,x2ds? 2.设?:?则?????z?3,?dy2x??(1?y)e3. 满足微分方程初值问题?dx 的解为y＝ ．
?y?1 ?x?04.设z = ln(1 + x2 + y2), 则dz(1,2)?
三、（9分）求微分方程y???4y?xcosx的通解．
四、（9分）求函数f (x, y) = xy在闭区域x2 + y2 ? 1上的最大值和最小值。. 五、（9分）某物体的边界由曲面z = x2 + y2和平面z = 0, |x| = a，|y| = a围成, 其密度函数为? = x2 + y2, 求该物体的质量.
六、（9分）设直线L:??x?y?b?0,在平面? 上，而平面? 与曲面z = x2 + y2相切于(1, ?2, 5)，求a, b的值。.
x?ay?z?3?0,? Page 1 of 18
七、（9分）计算曲面积分
333(x?y?z)dydz?(x?y?z)dzdx?(x?y?z)dxdy ???2
其中?为由圆锥面x2 + y2 = z与上半球面x2 + y2 + z2 = R2 (R > 0)围成曲面的外侧. 八、（8分）设函数Q(x, y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分且对任意t，有
?2xydx?Q(x,y)dy与路径无关，
L?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy，求Q(x, y).
九、（6分）设当x??1时，可微函数f(x)满足
f?(x)?f(x)?1. 求f?(x)；
1xf(t)dt?0， f(0)?. 1?0x?1 2. 证明：当x?0时，f(x)?e． 答案 一、1.B；2.A；3.D；4.C；5.D.二、1.
?xxy?2z?412?x??；2.dz?dx?dy；3. y?tan(e??1)；?231334(?1)n4. ?n?1(x?2)n；
n?03?三、y?C1cos2x?C2sin2x?七、
12111126xcosx?sinx.四、fmax?,fmin??.五、a, 六、a = ?5, b = ?2. 3922459(2?2)?R5.八、Q(x, y) = x2 + 2y – 1. 5
高数试题 2009.7
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是[ ] (A)f(x,y)在点(x0,y0)处连续； (B) f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数；
(C) lim[?z?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?x]?0，????0(?x)2?(?y)2；
(D) lim??0?z?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?x??0.
2. 圆心在原点半径分别为R和r的(R?r)的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为?)关于原点的转动惯
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量为[ ].
1??(R4?r4)； 2114444(C) ??(R?r)； (D) ??(R?r).
46(A)
??(R4?r4)； (B)
3. 微分方程y???5y??6y?xe2x?e3x的特解形式为（ ）
(A)y*?x(ax?b)e2x?cxe3x； （B）y*?ae2x?b(x?c)e3x；
（C）y*?(ax?b)e2x?ce3x； (D) y*?(ax?b)e2x?cxe3x 4. 设?是由球面x2?y2?z2?a2 (a?0)所围成的闭区域，则(A)
????x2?y2?z2dv= [ ]
441
?a； (B) 4?a4； (C) ?a4； (D) ?a4. 32
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
??????1. 已知a?3，b?26，a?b?72，则a?b? 2．函数f(x,y)?x2?xy?y2在点(1,1)处的梯度为 3. 已知曲线?为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(x?2y?3z)ds=
??4. 由曲面z?4?3(x?y)与曲面z?x?y所围立体的体积为 ． 5. 设?为平面
2222xyz4???1在第一卦限中的部分，则??(z?2x?y)dS= 2343?6. 以y1 = cos2x, y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点P0(1,1,1)到直线
x?7y?2z?3??的距离. 1232．已知一平面通过球面x2 + y2 +z2 = 4(x ? 2y ? 2z)的中心, 且垂直于直线L:?（2）该平面与球面的交线在xOy平面上的投影。
?x?0, 求（1）该平面的方程；
?y?z?0?2u3．设函数f具有二阶连续的偏导数，u?f(xy,x?y)求.
?x?y4．计算二重积分
2D，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域. y?xxydxdyy?x??D?(1?x2)y???2xy?5求解微分方程的初值问题：?．
??y(0)?1,y(0)?3 四、 (8分)计算积分I???(x?2cos??y2cos??z2cos?)dS, ?是抛物线z = x2 + y2被z = 4割下的有限部分的
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下侧, cos?, cos? , cos?是?上各点法线方向余弦.
五、(8分)设f (x) 为连续可微函数，且f(1)?2，对任一闭曲线L有
34x??ydx?f(x)dy?0。求曲线积分L??4xydx?f(x)dy的值.其中L是圆周(x?2)L32?(y?2)2?4上由A(2,0)经D(4,2)到B(2,4)的一段弧.
六、(8分)经过点P(2,1,)作一平面,使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.
七、(6分) 设函数f (x)在[1, +?)上连续，由曲线y = f (x),直线x = 1, x = t (t > 1)与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周形成旋转体的体积为
13V(t)?又已知f(2)?
?3[t2f(t)?f(1)]，
2，求f (x). 9答案 一、1.D；2.B；3.A；4.C.二、1.?30；2.(1, 1)；3.93；4.2?；5. 461；6. y ??+ 4y = 0. .
?x2?2y2?4x?16y?06三、1. 33; 2.?y + z = 0, ?; 3.f1 + xf11 + (x + y)f12 + f22 ; 4. ; 5. y = x3 + 3x + 1.四、
55?z?0.64xyx?.五、68, 六、??z?1.七 y?. 3631?x3
高数试题 2010.7
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分）
1. 函数f(x,y)?(x?y?2x)在闭区域(x – 1)2 + y2 ? 1上的最小值为[ ] (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。 2. 设函数f (x, y)连续，则二次积分(A)
222?dy?01y0f(x,y)dx? [ ].
?10dy?f(x,y)dx； (B)
y1?10dy?f(y,x)dx； (C)
0y?10dx?f(x,y)dy； (D)
x1?10dx?f(x,y)dy.
0x3. 设?为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则(A)
???(x?y?z)dv= [ ]
?1111； (B) ； (C) ； (D) . 6812244. 设y1 , y2是二阶线性方程y? + P(x)y? + Q(x)y = 0的两个解， 那么y = C1y1 + C2y2 (C1, C2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是[ ]．
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