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文章发布时间 : 2024/11/1 16:20:39星期五

静电场习题课

说明：数学表达式中字母为黑体者表示矢量

壹．内容提要

一、电荷守恒定律(略) .

二、库仑定律： F=q1q2r/(4πε0r3) . 三、电场强度E：

1．定义：E=F/q0 (F为试验电荷q0在电场E中所受作用力)；

2. 电场叠加原理E??Ei (矢量叠加)；点电荷系激发的电场：E??qiri/(4??0r3)；连续带电体激发的电场： E=∫ qrdq/(4πε0r3) . 四、高斯定理： 1.电场线(略)；

2.电场强度通量 Фe=∫SE?dS (计算电场强度通量时注意曲面S的法线正方向)；

3.高斯定理(过闭合曲面的电场强度通量)：

真空中 Φe??SE?dS??qi?0；

介质中 ?SD?dS??q0i；

4.库仑电场为有源场. 五、环路定理： 1.表达式?lE?dl?0；

2. 静电场为保守场. 六、电势V：

1.定义式 (场强与电势的积分关系.下式中p表示场点，(0) 表示电势零点)：

V??(0)pE?dl；

2. 电势差 VBAB?VA?VB??AE?dl；

3. 电势叠加原理 V??Vi (标量叠加)；点电荷系激发的电势：V??qi/(4??0r)；连续带电体激发的电势V??q?dq?4??0r??.

4.静电场力的功 WAB=qVAB ； 5. 场强与电势的微分关系

E=－gradV=[(?V/?x)i+(?V/?y)j+(?V/?z)k] .

七、电偶极子： 1.定义(略)； 2.电矩 Pe=ql； 3.激发的电场：

延长线上 E=[1/(4πε0)] (2Pe/r3)；中垂线上 E=[1/(4πε0)] (－Pe/r3)； 4. 激发的电势 V=Pe·r / (4πε0r3) ； 5. 在均匀电场中受力矩 M= Pe×E. 八、导体：

1.静电平衡条件导体内E=0, 导体表面附近外E垂直表面； 2.推论

(1)导体为等势体，导体表面为等势面， (2)导体表面曲率半径小处面电荷密度大， (3) 导体表面外附近电场E=σ/ε0,

3.静电屏蔽

(1) 空腔导体内的物体不受腔外电场的影响，(2)接地空腔导体外物体不受腔内电场的影响. 九、电介质：

1.有极分子取向极化,无极分子位移极化； 2.极化强度 P=?pe/ΔV，在各向同性介质中P=χε0E ；

3.电位移矢量 D=ε0E+P，在各向同性介质中D=ε0εrE=εE ，εr=1+χ. 十、电容：

1.定义式 C=Q/U=Q/(V1－V2)； 2.几种电容器的电容 (1)平行板电容器 C=εS/d， (2)圆柱形电容器 C=2πεl/ln(R2/R1)， (3)球形电容器 C=4πεR2R1 /(R2－R1)， (4)孤立导体球 C=4πεR； 3.并联 C=C1+C2+C3+?;

4串联 1/C=1/C1+1/C2+1/C3+?.

十一、静电场的能量:

1.点电荷系相互作用能We= (1/2)?qiVi； 2.连续带电体的能量We= (1/2)∫qVdq； 3.电容器电能

We=(1/2)qU=(1/2)CU2=q2/(2C)； 4.静电场的能量密度 we=(1/2)D·E，

We=∫V wedV=(1/2)∫V D·EdV.

十二、几种特殊带电体激发电场： 1.无限长均匀带电直线激发电场的场强

E=?r/(2??0r2)；

2.均匀带电园环轴线上的场强与电势

E=Qx/[4??0 (x2+R2)3/2],V= Q/[4??0 (x2+R2)1/2]；3. 无限大均匀带电平面激发电场的场强

E=?/(2?0)；

贰、练习一至练习八答案及简短解答

练习1 库伦定律电场强度

一、选择题 C B A C D 二、填空题

1. ?1d/(?1+?2).

2. 2qyj /[4??0 (a2+y2)3/2] , ±a/21/2. 3. M/(Esin?).

?? dE x 三、计算题

O 1. 取环带微元

dq=?dS

=?2?(Rsin?)Rd? =2??R2sin?d? dE=dqx/[4??0(r2+x2)3/2]=

2??R2sin?d??Rcos??4??3=?sin?cos?d?/(2?0)0RE???/20?sin?cos?d??2?0???/?4?0?

方向x轴正向.

dly 2.取园弧微元 ? dq=?dl

dEx x =[Q/(?R)]Rdθ=Qdθ/?

O dE=dq/(4??0r2

) d=Qdθ/(4π2?0R2

dE)

y E dEx=dEcos(θ+?)=－dEcosθ dEy=dEsin(θ+?)=－dEsinθ

4. 均匀带电球面激发的场强与电势：球面内 E=0, V= Q/(4??0 R) 球面外 E= Qr/(4??0 r3), V= Q/(4??0 r)；

5. 均匀带电球体激发的场强与电势：球体内E=Qr/(4??0R3), V=Q(3R2-r)/(8??0R3); 球体外E= Qr/(4??0 r3), V= Q/(4??0 r)； 6. 无限长均匀带电圆柱面激发的场强：柱面内 E=0, 柱面外 E=?r/(2??0r2)； 7. 无限长均匀带电圆柱体激发的场强：柱体内 E=?r/(2??0R2)，柱体外 E=?r/(2??0r2)

Ex=?dEx???3?/2?/2Qcos?d??4?2?0R2?

=Q/(2?2?0R2)

E2y=?dEy??3?/?/2Qsin?d??4?2?0R2?=0

故 E=Ex=Q?2?2?0R2? 方向沿x轴正向.

练习2 电场强度（续）电通量

一、选择题 D C D B A 二、填空题

1. －p/(4??0y3), 2p/(4??0x3). 2. ?/(??0a), 3. 5.14?105N.

dE y 三、计算题

1. 取无限长窄条电P b dx 荷元dx,电荷线密度

x ??=?dx/a

它在P点产生的电场强度为

dE=??/(2??0r)=?dx/(2??0ab2?x2) dEx=dEcos?=??xdx/[2??0a(b2+x2)] dEy=dEsin?=?bdx/[2??0a(b2+x2)]